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Algo-Rhythmik

Algorithmisches Denken in der Primarschule

Zusammenfassung

Algorithmen sind Methoden, um Probleme zu lösen. Diese Probleme können aus beliebigen Kontexten stammen und auch in der Umsetzung eines Algorithmus sind wir sehr frei. In dieser Einheit machen wir es uns zur Aufgabe, eine Kollegin oder einen Kollegen mittels Klatsch-Signalen durch den Raum zu steuern, um konkrete Formen zu laufen. Zur Kommunikation dient uns ein konkretes Regelsystem, das der «Roboter» (also die Kollegin oder der Kollege) genau befolgt. Um ein bestimmtes Bewegungsmuster zu erreichen, müssen wir uns also genau an das bekannte Regelsystem halten und lernen, uns darin auszudrücken.

Ziel dieser Einheit ist es, dass die Sudierenden lernen, sich in einem zuvor unbekannten Regelsystem so auszudrücken, dass sie einen Roboter (oder einen mechanisch agierenden Menschen) steuern können. Sie lernen also, Information mittels Klatsch-Mustern so auszudrücken, dass ein bestimmtes Verhalten daraus folgt. Die präzise Kommunikation ist eine essentielle Voraussetzung, damit diese Interaktion funktioniert. Die Lernenden entwerfen Algorithmen in Form von bewusst gewählten Klatsch-Mustern.

Beispielsequenz

Die Menschheit hat über Jahrtausende unzählige ausgeklügelte Prozesse entwickelt, die unsere Zusammenleben regeln und Chaos vermeiden sollen. Ein komplexe Logik wie beispielsweise die einer Ampelsteuerung besteht oft aus einer Menge von zugrundeliegenden Regeln anhand welcher grössere Prozesse und Zusammenhänge abgeleitet werden können. In der Mathematik finden wir eine ganze Wissenschaft, die sich mit der Entwicklung und Analyse eines grossen Regelsystems auseinander setzt. In dieser Einheit betrachten wir ein kleines und doch interessantes Regelsystem, welches eine non-verbale Art der Kommunikation ermöglicht. In wenigen Minuten machen Sie sich mit dem Regelsystem vertraut und explorieren anschliessend dessen Grenzen und Limitationen.

Simon läuft. Bei jedem Ton geht er einen Schritt voran; in einem gleichmässigen Rhythmus und ohne jemals zu stoppen oder zu drehen. Sandra steuert Simons Bewegung (ansonsten läuft dieser innert kürzester Zeit in die nächstgelegene Wand). Wenn Sandra klatscht, dreht sich Simon um 90 Grad und macht einen Schritt. Ob die Drehung nach links oder rechts erfolgt, ist abhängig davon, welchen Fuss Simon gerade in der Luft hat. Falls sein rechter Fuss oben ist, dreht er sich nach rechts und macht den Schritt; ist hingegen sein linker Fuss in der Luft, so dreht er sich nach links und macht den Schritt.

Kurz ausgedrückt: Simon überkreuzt niemals seine Beine beim Drehen. Der erste Schritt beginnt immer mit dem rechten Fuss und Simon schaut am Anfang immer nach vorn (in den nachfolgenden Aufgaben entspricht dies jeweils oben).

Simon macht bei jedem Ton einen Schritt vorwärts, wie in Abbildung 1 dargestellt.

.bild1.png.
Abbildung 1. Simon läuft pro Ton einen Schritt
Wenn Sandra in die Hände klatscht, dreht sich Simon auf der Stelle und macht den nächsten Schritt nach links oder rechts. Ein Beispiel ist in Abbildung 2 dargestellt.
.bild2.png.
Abbildung 2. Sandra klatscht das Muster
Wir notieren Simons Weg auf einer Karte. Jedes Kästchen entspricht einem Schritt. Orange markiert sind diejenigen Schritte, bei welchen Sandra geklatscht und Simon sich entsprechend gedreht hat:
.bild3.png.
Abbildung 3. Der von Simon zurückgelegte Weg

Aufgabe 1

Im Folgenden sind einige Muster gezeichnet, die Simon gelaufen ist. Können Sie kennzeichnen, an welchen Stellen Sandra geklatscht hat, sodass das gegebene Bild entstanden ist?

.a1a.png..bild4.png.
.a1b.png..bild4.png.
.a1c.png..bild4.png.
.a1d.png..bild4.png.

Aufgabe 2

Welches Muster wird Simon laufen, wenn Sandra die folgenden Rhythmen klatscht?

.a2a.png..a2aa.png.
.a2b.png..a2bb.png.
.a2c.png..a2bb.png.
.a2d.png..a2dd.png.

Aufgabe 3

Sandra will Simon im Zickzack laufen lassen. In jeder Zeile gibt es mindestens ein Muster, welches nicht geklatscht werden kann. Finden Sie heraus, welche dies sind, und erklären Sie, was der Grund dafür ist, dass diese Muster nicht geklatscht werden können.

.a3a.png..a3b.png..a3c.png.
.a3aa.png..a3bb.png..a3cc.png.

Aufgabe 4

Wir wollen Quadrate verschiedener Seitenlängen zeichnen. Bestimmen Sie für die folgenden Quadrate, ob diese das Resultat eines Klatsch-Musters sein können oder nicht. Der Startpunkt ist unbekannt.

.a4a.png..a4b.png.
.a4c.png..a4d.png.

Aufgabe 5

Erklären Sie, für welche Seitenlängen x es ein Klatsch-Muster gibt, das ein Quadrat der Seitenlänge x erzeugt.

Aufgabe 6

Erklären Sie, wie oft geklatscht werden muss, um ein allgemeines Quadrat der Seitenlänge x zu zeichnen.

Aufgabe 7

Erklären Sie, wie lang das jeweilige Lied sein muss (wie viele Schläge dieses umfasst), wenn Simon ein Quadrat der Seitenlänge x gelaufen ist.

Lösungen zu den Aufgaben

Aufgabe 1

Sandra klatscht an den in der folgenden Abbildung orange markierten Stellen. .l1a.png. .l1b.png. .l1c.png. .l1d.png.

Aufgabe 2

Es entstehen folgende Muster.

.l2a.png..l2b.png.
.l2c.png..l2d.png.

Aufgabe 3

Wir betrachten die beiden Zeilen separat und diskutieren jeweils alle drei Alternativen. Beginnen wir mit Zeile 1.

  1. Dieses Muster kann geklatscht werden. Sandra gibt bei jedem Ton (inklusive dem ersten) einen Drehimpuls, indem sie klatscht.
  2. Dieses Muster kann nicht geklatscht werden. Der Grund dafür ist, dass Simon immer mit dem rechten Fuss beginnt und somit nach dem ersten Schritt den linken Fuss in der Luft hat. Falls Sandra bei diesem Schritt klatscht (was gemäss Aufgabenstellung der Fall ist, da der zweite Schritt mit einem Richtungswechsel verbunden ist), so kann dieser Schritt nur nach links gehen. Hier führt der Schritt allerdings nach rechts, was im verwendeten Regelsystem nicht erlaubt ist.
  3. Dieses Muster kann geklatscht werden. Es handelt sich um das Muster, das entsteht, wenn Sandra bei jedem Schritt (abgesehen vom ersten) in die Hände klatscht.

Für Zeile 2 ergeben sich folgende Überlegungen.

  1. Dieses Muster kann nicht geklatscht werden. Während die ersten vier Schritte zwar wie geplant stattfinden können (rechts, links, rechts mit drehen, links), ist der fünfte Schritt nicht möglich. Hier wird gemäss Bild erneut eine Drehung eingeleitet. Da es sich um den fünften Schritt insgesamt handelt und Simon immer mit dem rechten Fuss beginnt, muss auch dieser Schritt wieder mit dem rechten Fuss gemacht werden und somit können Drehungen einzig nach rechts ausgeführt werden. Auf dem Bild führt die Drehung allerdings nach links.
  2. Dieses Muster kann geklatscht werden und es entsteht, wenn Sandra beim vierten, siebten und zehnten Schlag klatscht.
  3. Dieses Muster kann nicht geklatscht werden. Die ersten acht Schritte können zwar wie eingezeichnet vollführt werden, allerdings ist beim neunten Schritt der rechte Fuss in der Luft und es kann folglich nur eine Drehung nach rechts stattfinden; hier führt sie nach links.

Aufgabe 4

Auch hier werden wir alle vier Aufgaben separat diskutieren und jeweils feststellen, ob diese Muster tatsächlich geklatscht werden können oder nicht.

  1. Dieses Muster kann nicht geklatscht werden. Um dises Muster zu laufen, muss mindestens dreimal in dieselbe Richtung gedreht werden. Wenn zwischen diesen Drehungen allerdings jeweils nur ein Schritt liegt, entsteht eine Treppe und kein Quadrat.
  2. Dieses Muster kann geklatscht werden, beispielsweise mit dem Startpunkt links unten. Sandra müsste in diesem Fall beim dritten, fünften und siebten Schritt klatschen. Auch die Ecke oben links wäre möglich, wenn Sandra beim ersten, dritten, fünften und siebten Schritt klatscht. In beiden Fällen muss Simon das Quadrat im Uhrzeigersinn ablaufen.
  3. Dieses Muster kann nicht geklatscht werden. Wenn wir versuchen, das Muster im Gegenuhrzeigersinn abzulaufen, möchten wir uns beim vierten Schritt nach links drehen. Um dies durchführen zu können, kommen als Startpunkt nur die Ecke unten links oder die Ecke unten rechts in Frage. In beiden Fällen scheitern wir beim siebten Schritt. Bei allen ungeraden Schritten befindet sich Simons rechter Fuss in der Luft und er muss demzufolge eine Drehung nach rechts vollführen, falls er sich dreht. Dies lässt sich nicht vereinen mit der hier erwünschten Linksdrehung.
  4. Dieses Muster kann geklatscht werden. Sandra klatscht jeweils auf den fünften, neunten und dreizehnten Schlag. Bei all diesen Schritten befindet sich Simons rechter Fuss in der Luft (denn sie sind ungerade) und er muss sich nach rechts drehen.

Aufgabe 5

Allgemein beobachten wir, dass bei einem Quadrat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel zu finden sind. Angenommen wir starten in einer der vier Ecken, müssen wir uns also noch mindestens dreimal um 90 Grad drehen und alle drei Drehungen müssen in dieselbe Richtung gehen (immer nach rechts oder immer nach links). Um sicherzustellen, dass alle vier Seiten gleich lang sind, müssen die Drehungen in regelmässigen Abständen erfolgen. Man könnte versuchen jeweils nach zwei, drei, vier oder fünf Schritten zu klatschen. Ein Teil der daraus resultierenden Muster führt tatsächlich zu Quadraten, allerdings nicht alle... Abhängig von den gewählten Abständen befindet sich nämlich nicht immer derselbe Fuss in der Luft und es gelingt uns nicht stets in dieselbe Richtung zu drehen.

Beispiel: Simon läuft abwechselnd mit dem rechten und dem linken Fuss. Das heisst, dass sich bei jedem zweiten Schritt derselbe Fuss in der Luft befindet. Falls die Drehung ebenfalls auf jeden zweiten Schlag erfolgt, dreht sich Simon immer auf dieselbe Seite (das funktioniert auch bei Vielfachen von zwei: Alle vier, sechs, acht Schläge). Erfolgt der Schlag allerdings zu einem ungeraden Zeitpunkt, wechselt Simon zwischendurch die Füsse; einmal hat er den rechten Fuss in der Luft (und dreht demzufolge nach rechts), danach hat er den linken Fuss in der Luft (und dreht demzufolge nach links). So entsteht kein Quadrat, sondern eine Treppe. Die kurze Antwort auf die Frage lautet also: Sämtliche Quadrate mit gerader Seitenlänge können gelaufen werden.

Aufgabe 6

Unabhängig davon wie gross ein Quadrat ist: Es umfasst in allen Fällen mindestens drei Richtungswechsel und somit muss mindestens dreimal geklatscht werden, um ein Quadrat zu laufen.

Aufgabe 7

Da Simon bei jedem Schlag einen Schritt macht, entspricht die Antwort auf die Frage der Anzahl Schritte, die Simon macht, bis er ein Quadrat der Seitenlänge x gelaufen ist. Aus Aufgabe 5 wissen wir, dass Simon nur Quadrate mit gerader Seitenlänge (also beispielsweise 2, 4, 6 oder 8) laufen kann. Um ein Quadrat der Seitenlänge 2 zu laufen, muss Simon acht Schritte machen; bei einem Quadrat der Seitenlänge 4 sind es 16; bei einem Quadrat der Seitenlänge 6 sind es 24 Schritte. Allgemein ausgedrückt: Um ein Quadrat der Seitenlänge x zu laufen, macht Simon 4 · x Schritte.

Didaktischer Kommentar

Algorithmisches Denken heisst Probleme zu lösen und dazu Lösungswege aus wohldefinierten Einzelschritten zu verwenden. In dieser Einheit lernen die Studierenden, sich in einem klaren Regelsystem auszudrücken. Um einen bestimmten Effekt zu bewirken, müssen sie Klatsch-Signale zu einem bestimmten Zeitpunkt ausführen. Gegeben durch das Regelsystem sind gewisse Muster möglich und andere nicht. Die Studierenden beschäftigen sich insofern mit der Aussagekraft der von ihnen verwendeten Sprachen und entdecken deren Limitationen. Dies ist eine wichtige Voraussetzung, um eine Lösung zu evaluieren und sie erlaubt es ihnen, gefundene Phänomene zu generalisieren.

Der Baustein enthält die folgenden Aspekte des algorithmischen Denkens.

Abbildungsverzeichnis

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