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1001 Karteikarten, bitte!

Algorithmisches Denken in der Primarschule

Zusammenfassung

In der Geschichte der Menschheit wurden verschiedene Zahlenysteme entwickelt und verwendet. Nebst dem uns heute geläufigen Dezimalsystem mit seinen zehn Ziffern 0 bis 9 wurde auch mit dem Oktalsystem (8 Ziffern), dem Hexadezimalsystem (16 Ziffern) und dem Sexagesimalsystem (60 Ziffern) gerechnet. Im Dualsystem, welches auch unter dem Namen Binärsystem bekannt ist, werden nur zwei Ziffern verwendet und doch können in diesem Zahlensystem alle natürlichen positiven Zahlen dargestellt werden.

In dieser Unterrichtseinheit beschäftigen wir uns mit der Darstellung von Zahlen im Binärsystem und betrachten dazu ein Problem, das die Schülerinnen und Schüler aus dem Alltag kennen. Viele von ihnen lernen Vokabeln, indem sie sie auf Karteikarten schreiben und diese immer wieder anschauen. Die Karteikarten stellen die Schülerinnen und Schüler oft selbst her, indem sie DIN-A4-Blätter durch mehrmaliges Halbieren verkleinern. Wir wollen in dieser Einheit aus verschiedenen DIN-A-Formaten eine bestimmte Anzahl Karteikarten erstellen, ohne dabei Papier zu verschwenden. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, wie sie im Binärsystem Zahlen darstellen können.

Beispielsequenz

Sie haben bestimmt schon einmal vom Begriff des DIN-A4-Formats gehört. Es handelt sich dabei um das von uns täglich verwendete Papierformat, in welchem Briefe, Zeitschriften, Magazine, Broschüren und Formulare abgedruckt werden. Neben dem DIN-A4-Format gibt es auch noch andere Dimensionen; manche sind grösser und manche kleiner. Das Deutsches Institut für Normung (kurz DIN) hat im Jahr 1922 ein einheitliches und standardisiertes Format (Höhe und Breite eines Blattes Papier) festgelegt mit dem Ziel, ein universelles Format zu finden, das über alle Länder und Branchen hinweg Verwendung finden sollte. Ausgangspunkt des von DIN vorgeschlagenen Formates ist ein Blatt von der Grösse 1 m2, welches wir heute als DIN-A0-Format bezeichnen.

Wird ein solches DIN-A0-Blatt halbiert, entstehen daraus zwei identische Blätter des Formats A1. Auch diese Blätter können wiederum in zwei identische Blätter des Formats A2 halbiert werden. Dieser Vorgang des Halbierens kann beliebig oft wiederholt werden und daraus entstehen die verschiedenen DIN-A-Formate. Die folgende Abbildung zeigt die Grössenverhältnisse der Formate A0 bis A7. .din.jpg.

Aufgabe 1

Wir wissen bereits, dass die Fläche eines A0-Blatts 1 m2 ist. Wie gross ist die Fläche eines A4-Blatts? .A4_eins.png.

Aufgabe 2

Ein Blatt im DIN-A1-Format liegt hochkantig vor Ihnen. Die Seite sei x cm hoch und y cm breit (blau dargestellt in der folgenden Abbildung). Wie übertragen sich diese Werte auf ein Blatt im DIN-A2-Format? Geben Sie die unbekannten Dimensionen des roten DIN-A2-Formats in der folgenden Abbildung an. .seitenverhaeltnis.png.

Aufgabe 3

Das DIN-A-Format hat eine Besonderheit: Alle Seiten haben dasselbe Seitenverhältnis zwischen Höhe und Breite. Dieser Wert ist immer derselbe, unabhängig davon welche Grösse man wählt. In dieser Aufgabe wollen wir ihn berechnen.

In der folgenden Abbildung sehen Sie dieselben zwei Seiten wie zuvor in Aufgabe 2. Berechnen Sie das Seitenverhältnis (A respektive B) zwischen der Höhe und der Breite einer Seite unter der Voraussetzung, dass dieses Verhältnis beim blauen und roten Blatt identisch ist. .task3.png.

Aufgabe 4

Sie haben je ein Blatt des Formats A0, A1, A2, A3, A4, A5 und A6 zur Verfügung. Aus diesen Blättern sollen Sie Karteikarten im DIN-A6-Format machen, wozu Sie einige der Blätter wiederholt halbieren müssen. Um keinen Abfall zu produzieren, soll jedes verwendete Blatt auch vollständig verwendet werden. Welche der Blätter verwenden Sie, um 21 Karteikarten des Formats A6 herzustellen?

Aufgabe 5

Sie haben je ein Blatt des Formats A0, A1, A2, A3, A4, A5 und A6 zur Verfügung, die Sie zu Karteikarten machen wollen. Jedes Blatt darf weiterhin nur entweder ganz oder gar nicht verwendet werden. Welche Blätter halbieren Sie, um die folgenden Anzahl Karteikarten im DIN-A6-Format herzustellen?

  1. 32 Karteikarten
  2. 31 Karteikarten
  3. 95 Karteikarten

Aufgabe 6

Wie viele Karteikarten im DIN-A6-Format können Sie aus den folgenden sieben Blättern Papier maximal herstellen? .task4.png.

Lösungen zu den Aufgaben

Aufgabe 1

Wir wissen, dass ein A0-Blatt durch Halbieren zu zwei Blättern im A1-Format führt. Wenn wir die Fläche 1 m2 des A0-Blatts halbieren, erhalten wir für ein A1-Blatt eine Fläche von 1/2 m2 (respektive 0.5 m2). Das A1-Blatt halbieren wir erneut und erhalten zwei Blätter im DIN-A2-Format mit der Fläche 1/4 m2 (respektive 0.25 m2). Demzufolge hat ein A3-Blatt genau die Hälfte der Fläche eines A2-Blatts, nämlich 1/8 m2 (respektive 0.125 m2) und ein Blatt im DIN-A4-Format hat schliesslich die Fläche 1/16 m2 (respektive 0.0625 m2).

Aufgabe 2

Wir wissen, dass eine Seite im DIN-A0-Format in zwei identische Seiten im DIN-A1-Format geteilt werden kann. Eine dieser Seiten im DIN-A1-Format sei x cm hoch und y cm breit. Die andere Seite werde daraufhin nochmals halbiert, was zu zwei identischen DIN-A2-Seiten führt. Jede dieser Seiten ist x/2 breit und y hoch.

Hinweis: Wir definieren hier die Höhe immer als die längere der beiden Seiten und die Breite als die kürzer der beiden Seiten. Nach dem Teilen müssen die beiden Seiten im DIN-A2-Format demzufolge um 90° gedreht werden. .seitenverhaeltnis_lsg.png.

Aufgabe 3

Wir wissen, dass das Seitenverhältnis bei blau und orange per Definition dasselbe sein muss: \[ \frac{x}{y} = \frac{y}{x/2} \] Wir multiplizieren beide Seiten mit x/2 und erhalten: \[ \frac{x · (x/2)}{y} = y \] Wir multiplizieren beide Seiten mit y: \[ x · \frac{x}{2} = y^2 \] Wir multiplizieren beide Seiten mit 2: \[ x^2 = 2 · y^2 \] Wir ziehen auf beiden Seiten die Wurzel: \[ x = \sqrt{2} · y\] Wir dividieren beide Seiten durch y und erhalten das gesuchten Seitenverhältnis: \[ \frac{x}{y} = \sqrt{2} \] Daraus lässt sich nun auch die konkrete Höhe und Breite eines DIN-A4-Blattes berechnen. Aus Aufgabe 1 wissen wir, dass die Fläche eines A4-Blattes 1/16 m2 beträgt. Zusätzlich wissen wir nun, dass das Verhältnis zwischen Breite und Höhe einem festen Faktor \(\sqrt{2}\) entspricht:

Wir lösen die Formeln nach x auf:

Und elimieren x, indem wir die beiden rechten Seiten einander gleichsetzen: \[ y · \sqrt{2} = \frac{1}{16 · y} \] Wir multiplizieren die beide Seiten mit 16 · y: \[ y · \sqrt{2} · (16 · y) = 1 \] Wir lösen die Formeln langsam nach der Breite y auf: \begin{align*} y^2 · \sqrt{2} · 16 &= 1 \\ y^2 &= \frac{1}{\sqrt{2} · 16} \\ y &= \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2} · 16}} = 0.2102m \end{align*} Und daraus folgt nun auch die Höhe x: \[ x = y · \sqrt{2} \] \[ x = \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2} · 16}} · \sqrt{2} = 0.2973m \]

Aufgabe 4

Zunächst beobachten wir, dass aus jedem Blatt unterschiedlich viele Karteikarten entstehen:

Dies beruht auf der Tatsache, dass durch das Halbieren von jedem Blatt zwei gleich grosse Blätter im nächst kleineren Format entstehen. In einem DIN-A4-Blatt finden zum Beispiel genau vier gleich grosse DIN-A6-Blätter Platz. Da wir kein Papier verschwenden wollen, schauen wir uns immer die maximale Anzahl Karteikarten im DIN-A6-Format an, die wir aus einem Blatt durch (mehrfaches) Halbieren erstellen können.

Aber wie wählen wir nun aus, welche Blätter wir verwenden müssen, um auf die gewünschte Anzahl von 21 Karteikarten zu kommen? Das DIN-A0- und DIN-A1-Blatt können wir von Beginn weg ausschliessen, da wir mit ihnen jeweils mehr als 21 Karteikarten erhalten würden und somit einen Papierresten produzieren würden.

Bei der Frage, ob wir das DIN-A2-Blatt brauchen oder nicht, hilft uns eine einfache Überlegung: Was passiert, wenn wir es nicht verwenden? Nehmen wir einmal an, dass wir das DIN-A2-Blatt nicht verwenden. Nun stehen uns nur noch ein A6-, ein A5-, ein A4- und ein A3-Blatt zur Verfügung. Wenn wir alle diese Blätter zu Karteikarten im DIN-A6-Format umwandeln, haben wir maximal 1+2+4+8=15 Karteikarten und somit nicht genug, um auf die gewünschten 21 Karteikarten zu kommen. Wir haben nun also gelernt, dass wir nicht ohne das DIN-A2-Blatt auskommen. Wir verwenden es also und brauchen nun noch 21-16 = 5 Karteikarten. Das DIN-A3-Blatt können wir nicht mehr verwenden, da es 8 Karteikarten ergibt und somit mehr als wir noch benötigen. Aus einem A4- und A6-Blatt gelingt es uns, die gewünschten 5 Karteikarten zu erstellen.

Um auf die erforderten 21 Karteikarten zu kommen, verwenden wir also das A2-, A4- und A6-Blatt.

Aufgabe 5

Wir zerschneiden die folgenden Blätter:

  1. A1
  2. A2, A3, A4, A5, A6
  3. A0, A2, A3, A4, A5, A6

Aufgabe 6

Wir erhalten maximal 64+32+16+8+4+2+1, also 127 Karteikarten. Hätten wir ein Blatt, welches doppelt so gross wie das A0-Blatt wäre, dann könnten wir daraus genau 128 Karteikarten erstellen. Das ist also eine Karteikarte mehr, als wenn wir alle Karteikarten addieren, welche wir aus den Blättern der Formate A0 bis A6 erhalten.

Didaktischer Kommentar

Die Zielsetzung dieser Unterrichtseinheit besteht darin, dass sich die Lernenden mit dem Thema Binärzahlen beschäftigen und ein intuitives Gefühl dafüür entwickeln, wie eine Dezimalzahl ins Binärsystem umgewandelt werden kann ganz ohne dazu eine Regel auswändig lernen zu müssen.

Die Unterrichtseinheit ermöglicht die Auseinandersetzung mit dem Thema Binärzahlen in einer alternativen Form zu derjenigen, die herkömmlicherweise oft verwendet wird und zeigt auf, dass die Idee von Binärzahlen praktische Anwendung findet in alltäglichen Situationen fernab von Technologie und Computern. Das gewählte Thema fühlt sich vertraut an, denn Papier in verschiedenen Grössen kennen die Kinder mindestens seit ihrem ersten Tag an der Schule. Und doch, so vertraut das Thema auch scheint, in kürzester Zeit finden sich die Lernenden mit Fragen konfrontiert, die neue und teilweise auch erstaunliche Erkenntnisse in diesem scheinbar so bekannten Medium zulassen.

Das Binärsystem verwendet Stellenwerte bestehend aus Zweierpotenzen (also die Werte 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 etc.) welche selektiv addiert werden können um alle natürlichen Zahlen darzustellen. Die Zahl 11 kann beispielsweise durch die Werte 8+2+1 dargestellt werden. In unserer Aufgabe werden dieselben Stellenwerte durch Blätter verschiedener DIN-Formate dargestellt. Man verwendet die Anzahl der Karteikarten pro Seite als Stellenwert (aus einem A6 Blatt wird 1 Karteikarte, aus einem A5 Blatt werden 2 Karteikarten, aus einem A4 Blatt werden 4 Karteikarten, aus einem A3 Blatt werden 8 Karteikarten etc.). Durch die Voraussetzung, dass ein Blatt immer vollständig aufgebraucht werden muss, erhalten wir dieselben Eigeschaften wie bei Binärzahlen, wo es genau zwei Ziffern gibt: Die Ziffern 0 und 1. Übertragen auf unser Beispiel heisst das: Ein Blatt wird entweder vollständig verwertet oder gar nicht angefasst.

Die Unterrichtseinheit enthält die folgenden Aspekte des algorithmischen Denkens.

Quellenangaben und weiterführende Literatur

Diese Unterrichtseinheit basiert auf einer Aufgabe aus dem Lehrmittel Einführung in die Informatik 1 von Harald Pierhöfer und Robert Diem.

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