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Box-Counting-Methode

Algorithmisches Denken in der Primarschule

Zusammenfassung

Mit der Box-Counting-Methode kann die Komplexität natürlicher Fraktale ausgedrückt werden. Daher ist dieser Baustein eine Ergänzung zum Baustein fraktale Dimension. Beide Bausteine stehen wiederum in einem engen Zusammenhang mit dem Baustein fraktale Kurven. Mit diesen drei Bausteinen erhalten (angehende) Lehrpersonen einen Überblick zur fraktalen Geometrie, einen Einblick in den engen Bezug zum algorithmischen Denken und viele Ideen zur unterrichtlichen Umsetzung in unterschiedlichen Schulstufen. Lehrenden wird empfohlen, die Bausteine in der Reihenfolge fraktale Kurvenfraktale DimensionBox-Counting-Methode zu studieren, da jeweils der eine Baustein wichtige Grundlagen für den folgenden Baustein enthält. Für eine Umsetzung der Thematik Fraktale im Unterricht können sich Lehrpersonen ebenfalls an diese Reihenfolge halten. Allerdings gibt es mehrere Möglichkeiten, sinnvolle Unterrichtseinheiten aus allen drei Bausteinen zusammenzustellen. Insbesondere muss für Schülerinnen und Schüler der Primarstufe eine stufengerechte Auswahl der Aufgaben vorgenommen werden.

Der Begriff fraktale Dimension wurde durch eine Verallgemeinerung der euklidischen Dimension abgeleitet. In der euklidischen Geometrie gilt: Wird ein Objekt im Verhältnis \(1:n\) verkleinert, so haben \(k=n^{\mathrm{dim}}\) verkleinerte Objekte im ursprünglichen Objekt Platz. Das wird in der Zusammenfassung des Bausteins fraktale Dimension an verschiedenen Objekten der euklidischen Geometrie veranschaulicht. Der Zusammenhang \(k=n^{\mathrm{dim}}\) wurde für die fraktale Dimension übernommen, für welche somit gilt: \[ \mathrm{dim} = \frac{\log k}{\log n}. \] Da in der obligatorischen Schulzeit der Logarithmus nicht behandelt wird, werden im Baustein fraktale Dimension einfache approximative Methoden für die Bestimmung des Exponenten \(\mathrm{dim}\) verwendet. Diese Näherungsverfahren können auch in den Aufgaben dieses Bausteins genutzt werden.

Für die Bestimmung der Dimension natürlicher Fraktale wie einer Küstenlinie oder einer Wolke funktioniert die im Baustein fraktale Dimension beschriebene Methode nicht, da die exakten Werte für \(n\) und \(k\) nicht bekannt sind. In diesen Fällen können Dimensionen mithilfe der Box-Counting-Methode näherungsweise bestimmt werden. Die Box-Counting-Dimension beruht ebenfalls auf einer Verallgemeinerung der euklidischen Dimension. Der Name dieser Dimension weist darauf hin, dass Boxes (kleine Quadrate) gezählt werden müssen. Ein Fraktal wird mit Quadratrastern unterschiedlicher Maschenbreite abgedeckt. Danach wird ausgezählt, wie viele Boxes jeweils zur Überdeckung des Fraktals notwendig sind. Aus der Anzahl der Boxes und der Maschenbreite wird die Box-Counting-Dimension berechnet.

Die Box-Counting-Dimension muss bei euklidischen Objekten mit der euklidischen Dimension übereinstimmen. Das gilt entsprechend für die fraktale Dimension künstlicher Fraktale. Wird also die Box-Counting-Methode auf ein euklidisches Objekt wie eine Strecke oder eine Kreislinie angewendet, so muss sich die Dimension 1 ergeben. In Abbildung 1 werden eine rote und eine blaue Strecke durch Quadratraster unterschiedlicher Maschenbreite überdeckt. Das gesamte Raster hat stets die gleiche Breite, welche gleichmässig unterteilt wird, in diesem Fall in 12, 24 und 48 kleine Quadrate (Boxes). Bei der roten Strecke ist ersichtlich, dass bei der Unterteilung im Verhältnis \(1:12\) genau 12 Boxes für die Überdeckung notwendig sind, beim Verhältnis \(1:24\) sind es 24 Boxes und bei \(1:48\) sind es 48 Boxes. Dies entspricht exakt dem Zusammenhang \(k=n^{\mathrm{dim}}\) bei der euklidischen Dimension, weil bei einer Unterteilung eines euklidischen Objekts im Verhältnis \(1:n\) stets \(k=n^{\mathrm{dim}}\) verkleinerte Objekte entstehen (siehe oben), also gilt für eine Strecke \(k=n\).

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Abbildung 1. Box-Counting-Dimension von Strecken
Wiederum übernehmen wir diesen Zusammenhang zwischen Anzahl verkleinerter Objekte und Verkleinerungsverhältnis der euklidischen Dimension für die Box-Counting-Dimension \(\mathrm{dimB}\). Allgemein gilt also \(k=n^{\mathrm{dimB}}\), wobei \(k\) gleich der Anzahl der für die Überdeckung notwendigen Boxes ist. Analog zur euklidischen und zur fraktalen Dimension ergibt sich der Wert \(n\) aus dem Verkleinerungsverhältnis \(1:n\), somit ist \(n\) bei der Box-Counting-Dimension gleich der Anzahl Quadrate einer (konstanten) Rasterbreite und es gilt \[ \mathrm{dimB} = \frac{\log k}{\log n} \] Wenden wir die Methode auf die blaue Strecke an (siehe Abbildung 1), so erkennen wir, dass sich nicht für jedes einzelne Raster exakt die Dimension ergibt, sondern dass der Quotient \(\mathrm{dimB} = (\log k)/(\log n)\) gegen den exakten Wert der Dimension konvergiert, wenn \(n\) gegen \(\infty\) strebt. Würden wir die Werte für \(\log n\) und \(\log k\) in einem Koordinatensystem als Punkte eintragen, so könnte eine Gerade eingepasst werden, welche am besten zu diesen Punkten passt. Die Steigung dieser Geraden ist eine gute Approximation der Box-Counting-Dimension. Diese Steigung kann aus zwei Punkten \((\log n_1 / \log k_1 )\) und \((\log n_2 / \log k_2)\) näherungsweise bestimmt werden: \[ \mathrm{dimB} = \frac{\log k_2 - \log k_1}{\log n_2 - \log n_1} = \frac{\log(k_2/k_1)}{\log(n_2/n_1)} \]

Für die Maschenbreiten \(1/12\) und \(1/48\) ergibt sich \[ \mathrm{dimB} = \frac{\log(64/16)}{\log(48/12)}=\frac{\log 4}{\log 4}=1, \] was exakt der euklidischen Dimension entspricht.

Die Anwendung des zweiten Logarithmengesetzes bei der Definition von \(\mathrm{dimB}\) ist hier sinnvoll, da sich daraus Möglichkeiten zur näherungsweisen Berechnung ohne Kenntnis von Logarithmen eröffnen, wie sie bereits im Baustein fraktale Dimension genutzt wurden. Es gilt nämlich \[ \frac{k_2}{k_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^{\mathrm{dimB}}. \]

Wir werden nachfolgend vor allem die Aufteilung in 12 und 24 Boxes der Rasterbreite nutzen. In diesen Fällen gilt \(n_2/n_1=2\). Dies vereinfacht die Approximation von \(\mathrm{dimB}\) zusätzlich und beim Vergleich verschiedener Fraktale kann bereits aus dem Wert des Quotienten \(k_2/k_1\) auf Unterschiede in den Dimensionen geschlossen werden. Weitere Hinweise auf eine möglichst einfache Anwendung von Rastern in der obligatorischen Schule folgen im Abschnitt didaktischer Kommentar.

In Aufgabe 1 werden die Box-Counting-Dimensionen der Küstenlinie von Island (als natürliches Fraktal), der Kochinsel (als artifizelles Fraktal) und einer Kreisperipherie (als euklidisches Objekt) bestimmt. In Aufgabe 2 wird am Beispiel von Grossbritannien untersucht, welche Bedeutung die Dimension einer Küstenlinie für die Küsteform hat. Weitere Aufgaben können leicht selbst entwickelt werden, wie etwa für die Dimension von Flussufern, der Grenze der Schweiz, oder auch nur der Grenze zwischen Italien und der Schweiz, der Grenze eines Kantons und so weiter.

Beispielsequenz

Aufgabe 1

Bestimmen Sie die Box-Counting-Dimension

  1. der Küstenlinie von Island,
  2. der Kochinsel (siehe Abbildung 2),
  3. einer Kreislinie.

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Abbildung 2. Kochinsel

Aufgabe 2

Bestimmen Sie anhand von Abbildung 3 die Box-Counting-Dimension

  1. der Küstenlinie von Grossbritannien (ohne Nordirland),
  2. einem Ausschnitt aus der Ostküste,
  3. einem Ausschnitt aus der Westküste.

Welche Folgerungen können aus den Ergebnissen gezogen werden? Was bedeuten grössere bzw. kleinere Werte der Box-Counting-Dimension?

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Abbildung 3. Küstenlinie von Grossbritannien

Lösungen zu den Aufgaben

Aufgabe 1

Die Schülerinnen und Schülern entnehmen die Küstenlinie Islands einer hinreichend exakten Karte oder erhalten diese von der Lehrperson. Wurde im Unterricht die Kochinsel zuvor nicht thematisiert, so braucht es dazu eine entsprechende Einführung (siehe Baustein fraktale Kurven). Im Abschnitt didaktischer Kommentar findet sich eine Anleitung, wie Vorlagen einer Küstenlinie oder eines anderen Objekts mit entsprechenden Quadratrastern erzeugt werden können. In den vorliegenden Lösungshinweisen ist die Rasterbreite jeweils in 12 und 24 Quadrate unterteilt. Um Werte zu überprüfen können ergänzend Raster mit der Breite 48 (oder einer beliebigen anderen Anzahl) verwendet werden. Sind die Quadrate sehr klein, kann deren Auszählung allerdings (zu) zeitaufwendig werden.

  1. Die Auszählung der von der Küstenlinie betroffenen Quadrate ergibt bei Rasterbreite 12 genau 60 und bei Rasterbreite 24 genau 142 Quadrate (siehe Abbildung 4). Ergänzend wurde für diese Lösungshinweise auch mit der Rasterbreite 48 gearbeitet und 340 Boxes gezählt.
    .Island_R3.png.
    Abbildung 4. Islandkarten mit Maschenbreiten im Verhältnis 1:2 und 1:4
    Im vorliegenden Fall ergibt sich aus den Zahlen zu den Rasterbreiten 12 und 24 die Dimension \[ \mathrm{dimB}=\frac{\log(142/60)}{\log 2}\approx 1.24. \] Werden die den Rasterbreiten 12 und 48 entsprechenden Zahlen genommen, ergibt sich ca. 1.25 und bei den Rasterbreiten 24 und 48 ca. 1.26. Für die näherungsweise Bestimmung des Exponenten \(\mathrm{dimB}\) in der Gleichung \(k_2/k_1 = (n_2/n_1)^{\mathrm{dimB}}\) wird auf die diesbezüglichen Ausführungen im Baustein fraktale Dimension verwiesen.
  2. Die Auszählung bei den Rasterbreiten 12 und 24 (siehe Abbildung 5) ergibt die Anzahlen 80 und 192 und demzufolge \[ \mathrm{dimB}=\frac{\ln(192/80)}{\ln 2}\approx 1.26. \]
    .Kochinsel.png.
    Abbildung 5. Kochinsel mit Maschenbreiten im Verhältnis 1:2
    Dieser Wert stimmt (gerundet auf zwei Nachkommastellen) mit dem im Baustein fraktale Dimension berechneten Dimensionswert überein.
  3. Die Auszählung der Quadrate in Abbildung 6 ergibt für die Rasterbreite 12 genau 39, für die Rasterbreite 24 genau 78 und für die Rasterbreite 48 genau 156 Quadrate. Aus diesen Zahlen ist ohne zu rechnen ersichtlich, dass für alle Rasterkombinationen erwartungsgemäss \(\mathrm{dimB}=1\) gilt.
    .Kreislinie.png.
    Abbildung 6. Kreislinine mit Maschenbreiten im Verhältnis 1:2 und 1:4

Die Ergebnisse dieser Aufgabe sind ein Hinweis darauf, dass die Definition der Box-Counting-Dimension sinnvoll ist und das Verfahren bei euklidischen Objekten und artifiziellen Fraktalen gute Näherungswerte der euklidischen bzw. der fraktalen Dimension liefert.

Aufgabe 2

Die folgenden Werte der Box-Counting-Dimension beruhen auf der Auszählung von Quadraten wie dies in Abbildung 3 erkennbar ist, wobei der Verhältniswert \(n_2:n_1\) stets gleich 2 ist (vgl. Hinweise zu den Rastern im didaktischen Kommentar). Es ergeben sich folgende Werte:

  1. \(\mathrm{dimB}=\frac{\ln(236/95)}{\ln 2}\approx 1.31\)
  2. \(\mathrm{dimB}=\frac{\ln(42/19)}{\ln 2}\approx 1.14\)
  3. \(\mathrm{dimB}=\frac{\ln(71/25)}{\ln 2}\approx 1.51\)

Eine eher glatte Küstenlinie hat einen Dimensionswert nahe bei 1. Je zerklüfteter die Küste ist, desto grösser ist der Dimensionswert. In diesem Zusammenhang ist auch die Bestimmung der Länge einer Küste eine spannende Herausforderung. Dazu finden sich weitere Informationen im didaktischen Kommentar.

Didaktischer Kommentar

Bereits in der Zusammenfassung wurde auf verschiedene Möglichkeiten der unterrichtlichen Umsetzung der Inhalte der drei Bausteine fraktale Kurven, fraktale Dimension und Box-Counting-Dimension hingewiesen. Falls die Schülerinnen und Schüler sich vor einer Beschäftigung mit der Box-Counting-Methode nicht mit den beiden erstgenannten Bausteinen auseinandersetzen konnten, so müssen die wichtigsten Begriffe (Fraktal, Selbstähnlichleit, Iteration, Limesbild, euklidische und fraktale Dimension etc.) in einem Klassengespräch eingeführt werden. Liegt eine entsprechende Beschäftigung mit diesen Themen bereits länger zurück, so sollte dieses Vorwissen aktiviert werden. Allerdings können Lehrende auch dem Niveau ihrer Schülerinnen und Schüler entsprechende Lerneinheiten mit Aufgaben aus allen drei Bausteinen zusammenstellen. So kann beispielsweise eine sinnvolle Lerneinheit aus der Kochkurve und der Kochinsel aus dem Baustein fraktale Kurven, der Bestimmung der entsprechenden Dimension gemäss dem Baustein fraktale Dimension und der Bestimmung der Box-Counting-Dimension der Küstenlinie von Island oder von Grossbritannien bestehen. Eine derartige Lerneinheit könnte ergänzt werden mit einem weiteren Aspekt aus dem Baustein fraktale Kurven, nämlich mit der Tatsache, dass die Küstenlinie der Kochinsel unendlich lang ist. Mit den Folgerungen dieser Erkenntnis für natürliche Küstenlinien hat sich bereits der als Begründer der fraktalen Geometrie geltende Mathematiker Benoît Mandelbrot auseinandergesetzt. Er erkärt in seinem 1977 erschienenen Werk (deutsche Ausgabe 1987) die fraktale Geometrie der Natur, weshalb auch die Länge einer Küste wie beispielsweise diejenige Grossbritanniens unendlich ist. Stellen Sie sich vor, Sie bestimmen approximativ die Länge der britischen Küstenlinie mithilfe eines Streckenzugs. Sie nehmen zum Beispiel eine Streckenlänge von 500km und berechnen einen ersten Näherungswert durch die Multiplikation von 500km mit der Anzahl der Strecken, welche für den ganzen Streckenzug um Britannien herum erforderlich sind. Danach verkürzen Sie die Strecke auf 400km, 300km, ..., 10cm, 1cm etc. und berechnen jeweils die Produkte aus der Streckenlänge und der Anzahl der notwendigen Strecken. Sie werden feststellen, dass die Küstenlinie unendlich lang wird. Schon allein mit Karten unterschiedlichen Massstabs lässt sich dieser Effekt erzielen. Je grösser der Massstab, umso mehr Details der Küstenlinie kommen zum Vorschein. Wird zudem die Streckenlänge des Polygonszugs kürzer, wirken sich diese Details zunehmend stärker auf die Gesamtlänge aus: Umso kürzer die Streckenlänge gewählt wird, desto besser lassen sich die Details einer Küstenlinie nachbilden. Wenden Sie dasselbe Verfahren bei einer euklidischen Linie an, so bleibt die Länge endlich. Beispielsweise konvergiert die Länge einer Kreisperipherie mit dem gleichen Verfahren gegen den Wert \(2π r\). Das entspricht der in der Schulmathematik üblichen Approximation von \(π\) durch einen Kreis ein- und umbeschriebene regelmässige Vielecke.

In der Primarstufe könnte der Baustein auch ohne einen konkreten Bezug zur fraktalen Geometrie unter der Thematik Küstenlinien aufgegriffen werden. Die Schülerinnen und Schüler charakterisieren unterschiedliche Küstentypen und euklidische Objekte wie Strecken oder Kreislinien durch die Werte der Verhältnisse \(k_2:k_1\) und entwickeln so ein Mass für die Komplexität von Küsten. Anstatt mit Küsten könnten auch Flussläufe oder Grenzen genommen werden.

Zur Bestimmung der Box-Counting-Dimension braucht es mindestens zwei Raster mit unterschiedlicher Maschenbreite. Das Verhältnis der Maschenbreite kann beliebig sein. Im Baustein wurde mit \(1:2\), manchmal ergänzend mit \(1:4\) gearbeitet. Bereits in der Zusammenfassung wurde darauf hingewiesen, dass durch das Beibehalten des Verhältnisses \(n_2:n_1\) für unterschiedliche Objekte bereits aus dem Verhältnis der Anzahlen der Boxes \(k_2:k_1\) vergleichende Rückschlüsse auf die Dimensionen ohne weitere Berechnungen möglich sind.

Für die Unterrichtspraxis gibt es mehrere Möglichkeiten, um die notwendigen Vorlagen bereitzustellen:

Mehrere Raster unterschiedlicher Maschenbreite verbessern die Qualität der Approximationen. Für das Verständnis der Methode sind die in den Lösungen verwendeten Raster ausreichend. Beim Auszählen selbst wurden jeweils Quadrate, welche von den Linien berührt wurden, mitgezählt.

Quellenangaben und Weiterführende Literatur

  1. Paul S. Addison: Fractals and Chaos. An Illustrated Course. IOP Publishing Ltd., London, 1997.
  2. Kristin Dahl und Sven Nordqvist: Zahlen, Spiralen und magische Quadrate. Mathe für jeden. Oetinger Verlag, Hamburg, 1996.
  3. Benoît B. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur. Birkhäuser, Basel, 1987.
  4. Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens und Dietmar Saupe: Chaos and Fractals. New Frontiers of Science. Springer, New York, 1992.
  5. Thomas Schweingruber: Auf zum MATHerhorn. Spannende Mathematik für Kinder. Pestalozzianum Zürich, 2. Auflage, 2006.

Abbildungsverzeichnis

Alle Abbildungen wurden durch den Autor erzeugt.

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