FH Graubünden PH Graubünden

Elastisches Verhalten von Holzträgern

Algorithmisches Denken in der Primarschule

Zusammenfassung

In dieser Unterrichtseinheit untersuchen die Schülerinnen und Schüler das Verhalten von Trägern bei Biegebelastungen. Um eine stufengerechte Umsetzung zu ermöglichen, wird nur mit einseitig eingespannten Holzbalken gearbeitet. Diese Balken sind aus Fichten- oder Buchenholz, mit rechteckigen Querschnitten und alle weisen die gleiche Länge auf. In der Beispielsequenz stehen offene Aufgaben zur Verfügung, welche zum Experimentieren anregen sollen.

Wirkt eine äussere Kraft \(F_0\) auf einen einseitig eingespannten Balken, so verbiegt sich dieser (siehe Abbildung 1).

.Abb1.png.
Abbildung 1. Einseitig eingespannter Balken
Die vorliegende Lerneinheit beschäftigt sich mit dem linear-elastischen Verhalten des Balkens. Das bedeutet, dass bei Wegnahme der äusseren Kraft, der Balken wieder die urpsrüngliche Form annimmt. Damit (angehende) Lehrpersonen, welche sich selbst mit dieser Lerneinheit beschäftigen und/oder diese im Unterricht umsetzen wollen, Erkenntnisse aus den Experimenten verstehen und begründen können, wird für die Auslenkung \(s\) eine Formel gegeben: \[ s=\frac{-4L^{3}}{Eh^{3}b}F_0. \] Die Auslenkung \(s\) wird also bestimmt durch die Länge \(L\) des Balkens (von der Tischkante bis zum Balkenende), durch das E-Modul (oder Elastitizätsmodul), durch den Querschnitt des Balkens (wobei \(b\) für die Breite und \(h\) für die Höhe steht) und durch die äussere Kraft \(F_0\). Das E-Modul ist ein Materialkennwert, bei einem hohen Wert für \(E\) verbiegt sich ein Balken weniger als bei einem tiefen Wert.

Nachfolgend wird in knapper Form die Formel für \(s\) hergeleitet. Dazu ist es notwendig, physikalische Zusammenhänge zu betrachten und mathematische Methoden anzuwenden. sDas Verständnis dieses Abschnitts ist für das Experimentieren, wie es in der Beispielsequenz vorgeschlagen wird, nicht notwendig. Sollte sich jemand nicht für die theoretische Grundlage der angegebenen Formel für \(s\) interessieren, so kann der folgende Abschnitt übergangen werden.

In Abbildung 2 ist ein Balkenquerschnitt abgebildet. Eingezeichnet sind die Koordinatenachsen \(y\) und \(z\), die \(x\)-Achse steht senkrecht zum Blatt.

.Abb2.png.
Abbildung 2. Querschnitt eines Balkens
Abbildung 3 zeigt einen Ausschnitt aus einem gebogenen Balken mit einem bestimmten Krümmungsradius \(r\). Die Krümmung nimmt gegen Balkenende ab, das heisst \(r\) nimmt zu und ist am Balkenende unendlich gross.
.Abb3.png.
Abbildung 3. Ausschnitt aus einem gebogenen Balken
Durch die Wirkung der äusseren Kraft \(F_0\) werden im Balken Zug- und Druckspannungen erzeugt. Die Druckspannung ist am unteren Rand des Balkens am grössten (der Balken wird stark gestaucht), während die Zugspannung am oberen Rand am grössten (der Balken wird stark gedehnt) ist. In der Mitte des Balkens liegt die neutrale Faser (rote Linie in Abbildung 3). Dieser Schicht entlang findet weder eine Dehnung noch eine Stauchung statt. Die Zugspannung bezeichnen wir mit \(\sigma\), sie ist abhänging von der Entfernung von der neutralen Faser. Die Druckspannung betrachten wir als Zugspannung mit negativem Vorzeichen, so dass \(\sigma\) vom unteren bis zum oberen Balkenrand stetig zunimmt. \(\sigma\) ist unterhalb der neutralen Faser negativ, oberhalb positiv und bei der neutralen Faser selbst 0. \(\sigma\) ist also abhängig von z. Da \(z=0\) auf der Höhe der neutralen Faser liegt, widerspiegelt \(\sigma(z)\) die Symmetrie von Dehnung und Stauchung entlang der \(z\)-Achse.

Die Länge \(l\) des Bogenstücks aus der neutralen Faser ist gleich dem Produkt aus Radius \(r\) und Zentriwinkel \(\varphi\), also \(l=r · \varphi\). (Dies ergibt sich aus der Länge der ganzen Kreisperipherie \(2 · π · r\), welche dem Zentriwinkel \(2π\) entspricht.) Die Länge eines beliebigen Bogenstücks bei \(r+z\) ist somit \((r+z) · \varphi\). Für die Längenänderung einer beliebigen Faser folgt \[ \Delta l = (r+z) · \varphi - r · \varphi = z · \varphi=z · \frac{l}{r}. (1) \] Für jedes positive \(z\) ist \(\Delta l\) erwartungsgemäss eine Dehnung und für negative Werte von \(z\) eine Stauchung.

Die Auswirkungen, welche die äussere Kraft \(F_0\) auf den Balken hat, hängt auch vom Werkstoff selbst ab. So werden Dehnung und Stauchung bei einem Balken aus Stahl geringer sein als bei einem Holzbalken. Aber wie wir in der Lerneinheit erkennen werden, zeigen auch verschiedene Hölzer unterschiedliches Verhalten. Ein Balken aus weicherem Fichtenholz lässt sich stäker verbiegen als ein Balken aus Buchenholz. Eigenschaften von Werkstoffen werden durch normierte Prüfverfahren bestimmt. Ein wichtiges Verfahren ist der Zugversuch, der wichtige Kennwerte liefert, welche für beliebige Bauteile aus dem betreffenden Werkstoff gültig sind. Im Zugversuch wird ein Bauteil durch eine Kraft gedehnt, bis er reisst (siehe Abbildung 4).

.Abb4.png.
Abbildung 4. Zugversuch bei einem Balken
Der ganze Prozess wird in einem Kraft-Weg-Diagramm aufgezeichnet. Dieses Diagramm zeigt in einer ersten Phase des Prozesses einen linearen Zusammenhang zwischen Kraft und Weg. Die Verformung ist elastisch. Wird der Zugversuch gestoppt, so nimmt der Bauteil seine ursprügliche Form an. Nach dieser ersten Phase erfolgt eine plastische Verformung, welche schlussendlich im Bruch des Bauteils mündet. Für die vorliegende Lerneinheit ist lediglich die linear-elastische Phase von Bedeutung.

Das Kraft-Weg-Diagramm wird übetragen in ein Spannungs-Dehnungsdiagramm. Die Spannung \(\sigma\) ist gleich dem Quotienten aus der Zugkraft \(F\) und dem Anfangsquerschnitt \(A\) des Bauteils: \(\sigma=F/A\). Die Dehnung entspricht dem Verhältnis der Längenänderung \(\Delta l\) und der Anfangslänge \(l\): \(\varepsilon = \frac{\Delta l}{l}\). Da \(A\) und \(l\) konstante Werte sind, ist der Zusammenhang zwischen der Spannung \(\sigma\) und der Dehnung \(\varepsilon\) ebenfalls linear und die Steigung des für einen bestimmten Werkstoff charakteristischen Graphen wird mit E-Modul (oder Elastizitätsmodul) bezeichnet. Daher gilt \[ E=\frac{\sigma}{\varepsilon}=\frac{F · l}{A · \Delta l}. \] Diese Ausführungen zur Bestimmung des E-Moduls sind als theoretisches Hintergrundwissen zwar interessant und für ein tieferes Verständnis hilfreich, sie spielen jedoch in den Experimenten selbst keine Rolle.

Aus \(\sigma=E · {\varepsilon}\), \(\varepsilon = \frac{\Delta l}{l}\) und Gleichung (1) folgt \(\frac{\Delta l}{l}=\frac{z}{r}\). Für die von z abhängige Spannung gilt somit \(\sigma(z)=E · \frac{z}{r}\).

Durch die einander entgegenwirkenden Kräfte (oben Dehnung, unten Stauchung) ergibt sich ein Drehmoment mit Achse bei \(z=0\), welches proportional zur angreifenden Kraft und zum Hebelarm (= Abstand von der Achse durch \(z=0\) und angreifender Kraft) ist. Das Drehmoment M lässt sich aus den (unendlich vielen) infinitesimalen Beiträgen \(dM(z)\) entlang der \(z\)-Achse berechnen. Es gilt \(dM(z)=zdF(z)\) (\(z\) ist der Hebelarm). Die Spannung entspricht – wie bereits erwähnt - dem Quotienten aus der auf den Querschnitt wirkenden Kraft und der Querschnittsfläche, also ist \(\sigma=\frac{dF(z)}{bdz}\). \(bdz\) entspricht quasi der Fläche einer Faser der Breite \(b\) mit infinitesimal kleiner Höhe \(dz\). Es folgt \[ dM(z)=zdF(z)=z\sigma(z)bdz. \] Die Addition aller unendlich vielen \(dM(z)\) ergibt das Gesamtdrehmoment \(M\) bezüglich der Drehachse \(z=0\). Daher muss das Integral entlang der \(z\)-Achse in den Grenzen \(-h/2\) bis \(h/2\) berechnet werden: \[ M=\int_\frac{-h}{2}^\frac{h}{2} dM(z)=\int_\frac{-h}{2}^\frac{h}{2} z\sigma(z)bdz=\frac{bE}{r}\int_\frac{-h}{2}^\frac{h}{2} z^{2}dz=\frac{Ebh^{3}}{12r} \] Aus dem Drehmoment kann der Biegeradius r an einer bestimmten Stelle \(x\) des Balkens berechnet werden: \(r=\frac{Eh^3b}{12M}\). Betrachten wir das Drehmoment \(M\) im Abstand \(x\) von der Einspannung des Balkens (siehe Abbildung 1), so gilt \(M= {F}_{0}(L-x)\) (wie schon vorher erwähnt ist das Drehmoment gleich dem Produkt aus Kraft und Hebelarm). An der Stelle x gilt daher für den lokalen Krümmungsradius \(r=\frac{Eh^3b}{12{F}_{0}(L-x)}\). Der kleinste Radius \(r\) und somit die stärkste Krümmung bildet sich für \(x=0\). Dort ist auch die grösste Spannung an der Oberseite des Balkens. An dieser Stelle wird der Balken bei zu grosser Kraftanwendung brechen.

Um die Auslenkung am Ende des Balkens zu bestimmen, ist die Summation aller unendlich vielen Beiträge der (abnehmenden) Krümmung zur Gesamtauslenkung über die gesamte Balkenlänge erforderlich. Aus einer aufwendigen Rechnung (Integration), welche hier weggelassen wird, ergibt sich die zu Beginn der Zusammenfassung notierte Formel für die Auslenkung \(s\).

Beispielsequenz

Aufgabe 1

Sie möchten einseitig eingespannte Holzbalken mit unterschiedlichen Gewichten belasten und die Auslenkungen messen. Überlegen Sie sich den Aufbau eines entsprechenden Experimentes. Skizzieren Sie eine entsprechende Versuchsanlage und notieren Sie, welche Materialien und Werkzeuge für die Experimente notwendig sind.

Aufgabe 2

Experimentieren Sie mit den vorhandenen Holzstäben der Länge 1m. Spannen Sie diese jeweils so ein, dass 91cm über den Tischrand hinaus schauen und hängen Sie die Gewichte ca. 1cm vor dem Balkenende auf. Messen Sie die Auslenkungen bei unterschiedlich hohen Belastungen. Halten Sie die Messwerte in geeigneter Form fest.

Vergleichen Sie die Messwerte (eigene Messwerte und solche von anderen Personen). Notieren Sie ihre Erkenntnisse.

Lösungen zu den Aufgaben

Aufgabe 1

Ein möglicher Aufbau für die Messungen zeigt Abbildung 5.

.Abb5.jpg.
Abbildung 5. Beispiel für eine Versuchsanlage
Es braucht:

Damit die Messwerte vergleichbar sind, müssen Vorschriften zum Einspannen der Holzstäbe abgesprochen werden.

Bei der Entwicklung der vorliegenden Lerneinheit wurden zahlreiche Experimente durchgeführt. Hinweise zu den verwendeten Holzstäben und Werkzeugen finden Sie im didaktischen Kommentar.

Aufgabe 2

Für diese Aufgabe können auch andere Vorgaben zum Einspannen und ergänzende Vorgaben zu den Gewichten gemacht werden.

Hier einige Ergebnisse aus der Erprobung des Experimente mithilfe der Versuchsanlage aus Abbildung 5:

Bevor diese Auswahl an Messwerten diskutiert wird, muss auf einige Schwierigkeiten beim Arbeiten mit Holz und beim Messen der Auslenkungen hingewiesen werden.

Der Baustoff Holz kann auf Primarstufe gut eingesetzt werden und er ist einfach zu beschaffen. Er hat jedoch auch seine Tücken. Feuchtigkeit, Temperatur, mechanische Vorbeanspruchungen beeinflussen seine mechanischen Eigenschaften, wie beispielsweise das E-Modul. Messungen mit den gleichen Holzstäben können an verschiedenen Tagen unterschiedliche Werte liefern. Es können sich auch Unregelmässigkeiten beim Vergleich der Messdaten mit Folgerungen aus der Formel für die Auslenkung \(s\) zeigen. Da in dieser Formel der Term \(h^3b\) enthalten ist, kann beispielsweise aus der Auslenkung bei einem Holzbalken mit einem bestimmten Querschnitt auf die Auslenkung bei einem Balken aus dem gleichen Holz mit einem anderem Querschnitt geschlossen werden. Aufgrund der erwähnten Einflüsse stimmen diese Umrechnungen nicht unbedingt mit den Messergebnissen überein.

Wurde ein Holzstab bereits mehrmals mit Gewichten belastet oder lässt man die Gewichte längere Zeit hängen, so kann diese mechanische Vorbeanspruchung weitere Messungen mit dem gleichen Stab ebenfalls beeinflussen.

Handelsübliche Gewichte sollten nachgewogen werden. In der Erprobung wurden zum Teil Bleikugeln für Fischangeln verwendet. Das Gewicht der 50g-Kugel war lediglich 46g. Daher wurden für die Erprobung kleine Plastiksäcke mit irgendwelchen Materialien gefüllt bis exakt 50g-, 100g-, 200g- und 300g-Gewichte zur Verfügung standen. Grössere Gewichte als 300g wurden nie verwendet. Bei kleinen Auslenkungen wurde jeweils nur mit 100g-, 200g-, 300g-Gewichten gearbeitet, bei grossen Auslenkungen wurden bis zu 10g-Schritten verwendet.

Die Versuchsanlage (siehe Abbildung 5) ist einfach einzusetzen. Sie ermöglicht jedoch nur Messungen mit einer Genauigkeit von 1mm.

Trotz aller Schwierigkeiten können einige Erkenntnisse aus den Messwerten gewonnen werden:

Didaktischer Kommentar

Die beiden Aufgaben dieses Bausteins eignen sich für Gruppenarbeiten, welche allenfalls arbeitsteilig organisiert werden können (Protokollführer, Beobachter, etc). Dabei müssen auch immer wieder Austauschphasen im Klassengespräch stattfinden. Für eine Umsetzung im Unterricht sind die Grundsätze der Experimentierdidaktik zu beachten. Die Schülerinnen und Schüler sollen

Möglicherweise lassen sich (angehende) Lehrpersonen für eine Weiterarbeit an der Thematik Biegebelastungen anregen. Als eine marginale Erweiterung könnte mit der Länge eines Balkens experimentiert werden. Bereits in der Formel für \(s\) kann beispielsweise erkannt werden, dass doppelte Länge eines Balkens zu einer achtfachen Auslenkung führt. Es könnten Auslenkungen bei beidseitig eingespannten Balken oder bei Balken aus anderen Materialien untersucht werden. Interessant wäre auch eine Auseinandersetzung mit der Bedeutung derartiger Untersuchungen für praktische Anwendungen.

Bei der Erprobung wurden handelsübliche Holzstäbe verwendet. Falls handwerkliche Fähigkeiten und geeignete Werkzeuge zur Verfügung stehen, können Holzstäbe auch selbst hergestellt werden. So wäre es möglich, auf gut zu einander passende Masse zu achten (zum Beispiel ein Querschnitt doppelt so hoch wie breit, ein Stab doppelt so breit oder hoch wie ein anderer Stab usw.). Dadurch würden die oben beschriebenen Zusammenhänge eventuell einfacher erkennbar werden. Wie in den Lösungen zu Aufgabe 2 erwähnt, lassen sich die Gewichte leicht selbst erzeugen.

Quellenangaben und Weiterführende Literatur

Zurück PDF Übungen als PDF