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Die Mendelschen Regeln

Algorithmisches Denken in der Primarschule

Zusammenfassung

Gregor Johann Mendel als biologisch interessierter Mönch mit mathematischem Hintergrund hat als einer der Ersten systematische Beobachtungs- und Schlussfolgerungstechniken in der beobachtenden Wissenschaft erfolgreich eingesetzt. Dies ermöglichte ihm die Entdeckung grundlegender Mechanismen der Vererbung in der Biologie.

Mendel forschte mit Gartenerbsen. Diese Pflanze eignete sich für seine Untersuchungen, weil sie mehrere Merkmale aufweist, welche lediglich in zwei Typen auftreten. So ist die Form einer Erbse rund oder eckig, die oberflächliche Beschaffenheit rau oder glatt oder die Farbe grün oder gelb. Er formulierte seine Gesetze aufgrund statistischer Ergebnisse. Da diese Gesetze jedoch im Zuge neuerer Forschungsergebnisse an Allgemeingültigkeit eingebüsst haben, spricht man heute von Regeln.

Ein bestimmtes Merkmal basiert auf einem Genotyp, welcher aus einem väterlichen und einem mütterlichen Allel (Variante eines Gens) besteht. Bei einem dominant-rezessiven Erbgang wird das Erscheinungsbild des Merkmals (der Phänotyp) durch das dominante Allel bestimmt, während bei einem intermediären Erbgang beide Allelle gleichwertig sind und sich daher eine Mischform der elterlichen Erscheinungsbilder entwickelt. Werden beispielsweise reinerbige rote und weisse Blumen gekreuzt, so entstehen bei einem intermediären Erbgang rosarote Erscheinungsbilder. Bei einem dominant-rezessiven Erbgang entwickeln sich entweder nur rote oder nur weisse Blumen, je nachdem welches Allel dominant bzw. rezessiv ist (siehe Abbildung 1).

Die folgenden Regeln beziehen sich auf dominant-rezesssive Erbgänge. In den Abbildungen 1 und 2 sind jeweils die Genotypen in rechteckigen, die Phänotypen in runden Feldern. Die Buchstaben \(A\) und \(b\) sind zwei Ausprägungen eines Merkmals, wobei das Allel \(A\) dominant ist, weswegen ein Grossbuchstabe verwendet wird.

Die vorliegende Unterrichtseinheit soll ein tieferes Verständnis der drei Mendelschen Regeln ermöglichen. Da dabei die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse eine ausschlaggebende Rolle spielen, werden Wahrscheinlichkeitsexperimente von Hand sowie in den Programmiersprachen Logo und Python angeregt. Dabei können die (angehenden) Lehrpersonen aus diesen Arbeitsinstrumenten für die eigenen Lernprozesse und/oder für eine Umsetzung des Bausteins im Unterricht wählen. Falls (noch) keine Programmierkenntnisse vorhanden sind, können Simulationen mit Excel realisiert werden (siehe didaktischer Kommentar). Zur Illustration der Mendelschen Regeln steht im Begleitmaterial auch die Applikation MendelFlower.html zur Verfügung.

Mit Aufgabe 1, dem Werfen von Münzen, werden die Schülerinnen und Schüler in den mathematischen Hintergrund der Mendelschen Regeln eingeführt. Aufgabe 2 beschäftigt sich mit der ersten und der zweiten Regel. In Aufgabe 3 geht es um die dritte Regel. Bei einer Umsetzung der Unterrichtseinheit im Unterricht muss die Lehrperson nach der Diskussion von Aufgabe 1 wichtige Grundbegriffe aus der Vererbungslehre wie Filialgeneration, Genotyp, Phänotyp, Allel etc. einführen. Dies sollte möglichst stufengerecht erfolgen. So kann beispielsweise der Begriff Allel vereinfacht als (mütterliche bzw. väterliche) Genvariante oder Filialgeneration als Tochtergeneration bezeichnet werden.

Beispielsequenz

Aufgabe 1

Stellen Sie sich folgendes Spiel vor: Sie werfen gleichzeitig zwei Münzen. Zeigen beide Münzen Kopf, so erhält Spieler A einen Punkt, zeigen beide Münzen Zahl so erhält Spieler B einen Punkt, zeigen beide Münzen verschiedene Seiten, so erhält Spieler C einen Punkt.

  1. Ist das Spiel gerecht? (Haben alle drei Spieler die gleiche Chance zu gewinnen?)
  2. Spielen Sie dieses Spiel, wobei nur drei Runden gespielt (das heisst dreimal zwei Münzen geworfen) werden. Welcher Spieler hat gewonnen? Wiederholen Sie dieses Spiel einige Male. Welcher Spieler gewinnt am häufigsten?
  3. Ändern sich die Gewinnschancen der Spieler, wenn 10, 20 oder mehr Runden gespielt werden?
  4. Programmieren Sie eine Simulation dieses Spiels (Logo oder Python).

Aufgabe 2

Es werden rote und weisse Blumen mit den Genotypen \([R|R]\) und \([w|w]\) gekreuzt.

  1. Welche Blumen erwarten Sie in der ersten Filialgeneration?

    Welche Blumen erwarten Sie in der zweiten Filialgeneration?

    Begründen Sie ihre Vermutungen.

  2. Simulieren Sie den Erbgang am Computer. Verwenden Sie dabei die Programme aus Aufgabe 1.

Aufgabe 3

Es werden zwei reinerbige Individuen, welche sich in zwei Merkmalen unterscheiden, gekreuzt. Das eine Merkmal weist die Genvarianten \(a\) und \(b\), das andere Merkmal die Varianten \(c\) und \(d\) auf. Beim ersten Merkmal sei das Allel \(a\) dominant, beim zweiten \(d\). Somit besteht die Parentalgeneration aus folgenden Genotypen: \(([A|A],[c|c])\), \(([b|b],[D|D])\).

  1. Welche Individuen erwarten Sie in der ersten und zweiten Filialgeneration? Begründen Sie Ihre Vermutungen.
  2. Simulieren Sie diesen Erbgang mit einem Computerprogramm.
  3. Was ändert sich, wenn andere Allele dominant sind?

Lösungen zu den Aufgaben

Aufgabe 1

Wird diese Lerneinheit im Unterricht verwendet, so soll das Spiel mit den Schülerinnen und Schülern real in mehreren, verschieden langen Runden gespielt werden. Anstatt mit Münzen kann im Unterricht auch mit Wendeplättchen gespielt werden.

Da jede Münze mit einer Wahrscheinlichkeit von \(1/2\) Kopf oder Zahl zeigt, haben die Ausfälle Kopf/Kopf (\(K/K\)) und Zahl/Zahl (\(Z/Z\)) je die Wahrscheinlichkeit \(1/4\). Dies gilt auch für die Ausfälle Kopf/Zahl und Zahl/Kopf. Daher zeigen beide Münzen mit einer Wahrscheinlichhkeit von \(1/2\) verschiedene Seiten. Da wir nicht unterscheiden, welche Münze Zahl bzw. Kopf zeigt, bezeichnen wir diesen Fall stets mit \(K/Z\).

Je nach Klassenstufe kann vorerst nur eine Münze geworfen werden. Mit Hilfe einer Häufigkeitsverteilung der beiden Ausfälle kann das Verständnis für die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Kopf und Zahl gefördert werden und es können wichtige Begriffe wie Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit, Ausfall usw. eingeführt bzw. repetiert werden. Die Wahrscheinlichkeiten bei zwei Münzen können aus den Häufigkeitsverteilungen aus den Spielen oder aus einer theoretischen Überlegung abgeleitet werden. Auch in diesem Fall sind die Vorkenntnisse der Lernenden ausschlaggebend.

Je mehr Münzwürfe eine Spielrunde umfasst, desto eher wird Spieler C gewinnen. Mathematischer Hintergrund dieser Erkenntnis ist das Gesetz der grossen Zahlen: Wird ein Zufallsexperiment unter stets gleichen Bedingungen wiederholt, so konvergieren die Häufigkeiten der Ausfälle gegen die theoretischen Wahrscheinlichkeiten. Allerdings handelt es sich dabei nicht um eine monotone Konvergenz, so kann beispielsweise auch nach 1000 Würfen mit zwei Münzen mehrmals hintereinander \(K/K\) geworfen werden.

Da mit einem Programm in kurzer Zeit zahlreiche Würfe simuliert werden können, lässt sich das Gesetz der grossen Zahlen mit einem Computer geeignet veranschaulichen. Je nach Vorkenntnissen der Lernenden kann eine passende Programmiersprache (Logo, Python) gewählt werden. Eventuell können den Schülerinnen und Schülern auch einzelne Teile des Programmiercodes zur Verfügung gestellt werden. Beispielsweise kann ein Programm für das Werfen einer Münze gemeinsam ausgearbeitet werden und die Schülerinnen und Schüler modifizieren dieses dann für zwei Münzen. Um diese Programme zu optimieren, empfiehlt es sich, den Austausch in Gruppen oder im Klassenverband immer wieder anzuregen. Im Folgenden sind drei Programme (zwei in Logo und eines in Python) gezeigt, wobei den Zufallszahlen 0 und 1 jeweils Kopf bzw. Zahl zugeordnet sind.

from random import randint

def wurf2(kk, kz, zz, n):
  repeat n:
    m1 = randint(0, 1)   #  ergibt die Werte 0 oder 1
    m2 = randint(0, 1)   #  ergibt die Werte 0 oder 1
    if m1 + m2 == 0:
      kk += 1
    elif m1 + m2 == 1:
      kz += 1
    elif m1 + m2 == 2:
      zz += 1
  return kk, kz, zz, n

kk = 0
kz = 0
zz = 0

n = input("n?")
print(wurf2(kk, kz, zz, n))
Unterrichtserfahrungen zur Simulation des Werfens von Münzen zeigen, dass Lernende beim Programmieren häufig von einem sogenannten Laplace-Versuch ausgehen, das heisst jeder Ausfall hat die gleiche Wahrscheinlichkeit. Wenn das Programm für eine Münze vorhanden ist (siehe den Logo-Code zu wurf), so ändern Schülerinnen und Schüler den Befehl für die Erzeugung von Zufallszahlen in einem Logo-Programm von random 2 auf random 3 oder in Python von randint(0, 1) auf randint(0, 2). Somit ergibt sich für jeden Ausfall die gleiche Wahrscheinlichkeit, das heisst in einer langen Versuchsreihe werden \(K/K\), \(Z/Z\) und \(K/Z\) etwa gleich oft auftreten. Aus diesem Grund ist es wichtig, dass die Schülerinnen und Schüler durch reales Werfen von Münzen Erfahrungen sammeln und auf diese Diskrepanz eigenständig aufmerksam werden.

Steht genügend Zeit zur Verfügung und sollen die Programmierfähigkeiten gefördert werden, lassen sich die Programme beliebig ausbauen. So könnten beispielsweise die Ergebnisse der Simulationen übersichtlich dargestellt oder bei den Spielsimulationen die jeweilige Siegerin bzw. der jeweilige Sieger angezeigt werden.

Aufgabe 2

In der ersten Filialgeneration wachsen nur rote Blumen (siehe Zusammenfassung und Abbildung 1). In der zweiten Filialgeneration entstehen rote und weisse Blumen im Verhältnis \(3:1\) (siehe Zusammenfassung und Abbildung 2).

Für eine Simulation des ersten Erbgangs mit Münzen, würde man eine Münze, welche auf beiden Seiten Kopf und eine Münze, welche auf beiden Seiten Zahl zeigt, benötigen. Werden diese beiden Münzen geworfen, so könnte stets nur die Kombination \(K/Z\) erscheinen. In Abbildung 1 kann \(A\) durch \(K\) und \(b\) durch \(Z\) ersetzt werden.

Eine Simulation des zweiten Erbgangs kann mit den oben gezeigten wurf2-Programmen erfolgen: \(K\) entspricht dem Allel \(R\) und \(Z\) dem Allel \(w\) (oder umgekehrt). Am Ende der Programme können die Anzahlen von kk und kz respektive von RR und Rw addiert werden. Ein entsprechend abgeändertes Python-Programm ist im Folgenden dargestellt.

from random import randint

def wurf3(RR, Rw, ww, n):
    repeat n:
        m1 = randint(0, 1)   #  ergibt die Werte 0 oder 1
        m2 = randint(0, 1)   #  ergibt die Werte 0 oder 1
        if m1 + m2 == 0:
            RR += 1
        elif m1 + m2 == 1:
            Rw += 1
        elif m1 + m2 == 2:
            ww += 1
    rot = RR + Rw
    verh = round(rot/ww)
    return verh

RR = 0
Rw = 0
ww = 0
n = input("n?")
print(wurf3(RR, Rw, ww, n))
Angezeigt wird im Beispiel lediglich der Verhältniswert \(\mathrm{rot}:\mathrm{weiss}\). Sollen alle Einzelergebnisse zu den Genotypen angezeigt werden, so müssen im return-Befehl die entsprechenden Variablen RR, Rw und ww ergänzt werden.

Aufgabe 3

Beide Merkmale werden gemäss der Uniformitätsregel vererbt. In der ersten Filialgeneration entstehen nur gemischterbige Genotypen \(([A|b],[c|D])\). Das Aussehen wird durch die dominanten Allele \(A\) und \(D\) bestimmt. Der Prozess kann zum Beispiel mit Erbsen illustriert werden. Das Merkmal Farbe habe die Varianten grün (A) und gelb (b), das Merkmal Form die Varianten eckig (c) und rund (D). Die Parentalgeneration besteht aus grünen, eckigen Erbsen einerseits und gelben, runden Erbsen andererseits. In der ersten Filialgeneration sind alle Erbsen grün und rund.

In der zweiten Filialgeneration treten alle möglichen Merkmalskombinationen auf, wie in Abbildung 4 dargestellt.

.mendel_unabh.png.
Abbildung 4. Erste und zweite Filialgeneration
Fall A: Aus den Genotypen \(([A|A],[c|D])\), \(([A|A],[D|D])\), \(([A|b],[c|D])\) und \(([A|b],[D|D])\) ergeben sich Phänotypen mit den Merkmalen \(A\) und \(D\), im Beispiel grüne, runde Erbsen.

Fall B: Aus den Genotypen \(([A|A],[c|c])\) und \(([A|b],[c|c])\) ergeben sich Phänotypen mit den Merkmalen \(A\) und \(c\), im Beispiel grüne, eckige Erbsen.

Fall C: Aus den Genotypen \(([b|b],[c|D])\) und \(([b|b],[D|D])\) ergeben sich Phänotypen mit den Merkmalen \(b\) und \(D\), im Beispiel gelbe, runde Erbsen.

Fall D: Aus dem Genotypen \(([b|b],[c|c])\) ergeben sich Phänotypen mit den Merkmalen \(b\) und \(c\), im Beispiel gelbe, eckige Erbsen.

Schon aus dieser Aufzählung ist ersichtlich, dass nicht alle Typen in gleicher Anzahl entstehen. Die Darstellung in Abbildung 4 kann als Wahrscheinlichkeitsbaum gesehen werden. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind in Abbildung 5 dargestellt.

.Wahrsch_Tab.png.
Abbildung 5. Wahrscheinlichkeiten der Genotypen
Die Wahrscheinlichkeiten für die vier Phänotypen lassen sich leicht aus der Tabelle eruieren:

Fall A (blau): \(9/16\); Fall B (gelb): \(3/16\); Fall C (grün): \(3/16\); Fall D (rot): \(1/16\).

Somit ergibt sich für die Phänotypen ein Verhältnis von \(9:3:3:1\).

Für die Simulation kann ein bestehendes Programm zum Werfen von Münzen abgeändert werden. Ein möglichst einfaches Programm lässt sich auf der Basis der Tabelle in Abbildung 5 erarbeiten. Dazu benötigen wir eine \((3\times 3)\)-Matrix. Für jedes Merkmal werden je zwei Münzen geworfen, woraus sich die Zufallszahlen \(w_1\), \(w_2\), \(w_3\) und \(w_4\) ergeben. Die Summe \(w_1+w_2\) ergibt den Genotyp für das erste, die Summe \(w_3+w_4\) für das zweite Merkmal. Entsprechend wird in der Matrix der Wert an der passenden Stelle um 1 erhöht. Das folgende Python-Programm setzt diese Strategie um.

from random import randint

def mendel3(M, n):
    repeat n:
        w1 = randint(0, 1)
        w2 = randint(0, 1)
        w3 = randint(0, 1)
        w4 = randint(0, 1)
        M[w1 + w2][w3 + w4] += 1
    return M, n

M = [ [0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0] ]
n = input("n?")

print(mendel3(M, n))
print("dominant-rezessiv",
  M[0][1] + M[0][2] + M[1][1] + M[1][2],
  M[0][0] + M[1][0], M[1][2] + M[2][2], M[0][2])

div = M[0][2]

print("gekuerzt:",
  round((M[0][1] + M[0][2] + M[1][1] + M[1][2])/div),
  round((M[0][0] + M[1][0])/div),
  round((M[1][2] + M[2][2])/div),
  round(M[0][2]/div))
Die Ausgabe dieses Programms umfasst die vollständige Matrix (also die Anzahlen für jeden Genotyp) und die Gesamtzahl der Individuen, die addierten Anzahlen entsprechend den dominanten Allelen sowie das gekürzte Verhältnis der vier Phänotypen. Für n=10000000 ist eine mögliche Ausgabe:

([[625797, 1249748, 623967], [1250366, 2498555, 1249642], [626271, 1252013, 623641]], 10000000)
dominant-rezessiv 5621912 1876163 1873283 623967
gekuerzt: 9.0 3.0 3.0 1.0

Mit Logo wird das Programm etwas anspruchsvoller, da die Struktur Matrix nicht bereits zur Verfügung steht. In diesem Fall müsste mit Listen ein Ausweg gesucht werden. Möglich ist es auch, für das dem zweiten Merkmal entsprechenden Werfen zweier Münzen ein Unterprogramm zu definieren, welches jeweils nach dem Werfen der Münzen für das erste Merkmal aufgerufen wird.

Die Veränderungen bei der Dominanz anderer Allele lässt sich leicht in der Tabelle in Abbildung 5 herauslesen.

Didaktischer Kommentar

Zwei Aspekte, welche zumindest teilweise bereits in der Zusammenfassung oder in den Lösungshinweisen angesprochen wurden, sind in dieser Unterrichtseinheit besonders zentral:

Im Unterricht kann die Unterrichtseinheit nicht nur betreffend Arbeitsmittel sondern auch in Bezug auf den Inhalt stufengerecht umgesetzt werden. So kann sich eine Lehrperson auf die Aufgaben 1 und 2 (Werfen von Münzen, 1. und 2. Mendelsche Regeln) beschränken oder die Aufgaben können mit den intermediären Erbgängen erweitert werden.

Quellenangaben und Weiterführende Literatur

  1. Herbert Glaser, Harald Scheid und Hartmut Wellstein (Hrsg): Sigma. Grundkurs Stochastik. Klett Verlag, Stuttgart, 1982.
  2. Das Gesetz der grossen Zahlen. Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. https://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_der_grossen_Zahlen; zuletzt abgerufen am 02.10.2021.
  3. Laplace-Experimente. Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitstheorie#Laplace-Experimente; zuletzt abgerufen am 02.10.2021.
  4. Mendelsche Regeln 1 bis 3 mit Bildern einfach erklärt: https://www.nachhilfe-team.net/lernen-leicht-gemacht/mendelsche-regeln; zuletzt abgerufen am 02.10.2021. (Diese Quelle enthält eine Liste der wichtigsten Begriffe aus der Mendelschen Vererbungslehre.)
  5. Die Mendelschen Regeln: https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/biologie/artikel/die-mendelschen-regeln; zuletzt abgerufen am 02.10.2021.

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