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Abzählreime Austricksen

Algorithmisches Denken in der Primarschule

Zusammenfassung

Abzählreime sind interaktive Kinderreime, die von der Zielgruppe oft verwendet werden, um eine pseudozufällige Rollenverteilung vorzunehmen. Üblicherweise wird bei jedem Wort, jeder Silbe oder jeder betonten Silbe reihum auf jeweils ein Kind gezeigt. Dieser Vorgang wird so lange wiederholt, bis mit dem letzten Zeigen eines der versammelten Kinder ausgewählt oder ausgeschlossen werden kann. Bei vorgegebenen Reimen determiniert der Beginn die Wahl, da keine Zufallselemente im Spiel enthalten sind. Da die Anzahl der Abzählungen allerdings sehr gross ist, erscheint das Ergebnis unvorhersehbar.

In dieser Unterrichtseinheit werden sich die Lernenden der pseudozufälligen Komponente dieser Aktivitäten bewusst und entwickeln Strategien, wie sie durch geschickte Wahl des Start-Elementes das Resultat zu ihren Gunsten beeinflussen können. Dabei festigen die Lernenden einerseits ihr intuitives Verständnis von rhythmischen Strukturen und andererseits erkunden sie ein Konzept, das in der Informatik unter dem Namen Backtracking bekannt ist. Ausgehend von einem fest vorgegebenen Ablauf und dessen Resultat, versuchen wir den Ausgangsort zu bestimmen, indem wir den Ablauf zu invertieren versuchen.

Beispielsequenz

Anna und ihre sieben besten Freunde sitzen im Kreis mit einem Stück Schokolade. Es reicht nur für ein Kind, aber wer soll die Schokolade erhalten? Die Kinder entscheiden sich, einen Abzählreim zu singen und die Schokolade im Uhrzeigersinn von Kind zu Kind weiterzugeben. Die Kinder einigen sich auf den folgenden Abzählreim:

«Mir Müüsli händ's lustig, mir Müüsli sind froh, mir tanzed im Hüüsli und fröied üs soo.»

Reihum zählen die Kind immer zwei Wörter ab, wenn sie an der Reihe sind:

  1. Mir Müüsli
  2. händs lustig,
  3. mir Müüsli
  4. sind froh,
  5. mir tanzed
  6. im Hüüsli,
  7. und fröied
  8. üs soo.

Sie einigen sich, dass dasjenige Kind die Schokolade behalten darf, bei welchem der Abzählreim endet. Wenn Anna beispielsweise mit dem Abzählreim beginnt und die Kinder im Uhrzeigersinn je einen Teil des Abzählreims aufsagen, so ist Heidi diejenige, die den Reim beendet und die Schokolade behalten darf: .SchoggiVerteilen.png.

Kind Teil des Abzählreims
A Mir Müüsli
B händ's lustig,
C mir Müüsli
D sind froh,
E mir tanzed
F im Hüüsli
G und fröied
H üs soo.

Aufgabe 1

Dennis beginnt mit dem Abzählreim: Mir Müüsli, ...

  1. Welchen Teil des Abzählreims wird Anna aufsagen?
  2. Wer darf die Schokolade behalten?

Aufgabe 2

  1. Emil liebt Schokolade. Wer soll das Spiel beginnen, sodass Emil die Schokolade erhält?
  2. Finden Sie eine Strategie, wie Emil die Schokolade erhält, selbst wenn die Gruppengrösse ändert?

Wiederholtes Ausscheiden

Offensichtlich dient der Abzählreim nicht der erwünschten Randomisierung. Mangels funktionierendem Zufallsgenerator einigen sich die Kinder auf die folgenden neuen Spielregeln:

  1. Das Kind, auf welches der letzte Teils des Abzählreims («üs soo») trifft, scheidet aus.
  2. Danach beginnt das Spiel wieder beim alphabetisch ersten Kind in der Reihenfolge.
  3. Das Spiel wiederholt sich, bis nur noch ein Kind übrig bleibt. Dieses gewinnt die Schokolade.

.SchoggiVerteilenOut.png.

Kind Teil des Abzählreims
A Mir Müüsli
B händ's lustig,
C mir Müüsli
D sind froh,
E mir tanzed
F im Hüüsli
G und fröied
H üs soo.

Aufgabe 3

  1. Anna beginnt das Spiel mit «mir Müüsli». In welcher Reihenfolge scheiden die Kinder aus dem Spiel aus? Wer gewinnt die Schokolade?
  2. Wie oft wird der Aufzählreim durchgespielt, wenn sich am Anfang \(n\) Personen im Kreis versammeln?
  3. Lässt sich der Effekt des Spiels voraussagen? Angenommen, es befinden sich anfangs wieder \(n\) Personen im Kreis. Welche Person fällt in der ersten Runde raus, welche in der zweiten etc.? Beschreiben Sie Ihre Gedanken für

    \(n = 2\), \(n = 3\) und \(n = 4\).

Lösungen zu den Aufgaben

Aufgabe 1

  1. Wenn Dennis den Abzählreim beginnt, so sagt Anna den sechsten Teil des Verses auf, nämlich: «im Hüüsli».
  2. Der Abzählreim endet jeweils beim achten Kind, was in diesem Fall Carlo ist (ausgehend von Dennis).

Aufgabe 2

  1. In der gegebenen Konstellation mit acht Kindern und einem Abzählreim aus sieben Teilen, erhält Emil die Schokolade immer dann, wenn Freddy das Spiel beginnt.
  2. Unter der Annahme, dass wir nicht wissen, wie gross die jeweilige Gruppe ist, könnte die Startposition einfach bestimmt werden, indem man von Emil sieben Positionen zurück (gegen den Uhrzeigersinn) abzählt und dort beginnt.

Aufgabe 3

  1. Die Kinder scheiden in der folgenden Reihenfolge aus dem Spiel aus:

    Heidi, Anna, Carlo, Emil, Greta, Dennis, Freddy

    Bea bleibt als letzte im Spiel und gewinnt somit die Schokolade.

  2. Es müssen genau \(n-1\) Personen ausgeschlossen werden, sodass am Schluss noch eine Person übrig bleibt. Der Abzählreim wird bei \(n\) Personen also genau \(n-1\) Mal aufgesagt.
  3. Grundsätzlich lässt sich der Effekt voraussagen und die einzelnen Situationen beruhen aufeinander:

    \(n = 2\): Wir nennen die beiden Personen A und B. Das Spiel beginnt bei A und nimmt dann bekanntlich nach sieben weiteren Personen seinen Abschluss. Im Falle von zwei Personen trifft Person A alle ungeraden Schläge (konkret 1, 3, 5 und 7), während Person B alle geraden Schläge trifft (2, 4, 6 und 8). Am Ende bleibt somit Person A als Siegerin zurück.

    \(n = 3\): Wir nennen die drei Personen A, B und C. Das Spiel beginnt bei Person A und geht anschliessend während sieben weiteren Schlägen von A zu B zu C und wieder zurück zu A. Person A treffen alle Schläge \(3x+1\) (konkret 1, 4 und 7). Person B treffen alle Schläge \(3x+2\) (konkret 2, 5 und 8). Person C treffen alle Schläge \(3x\) (konkret 3 und 6). In der ersten Runde fällt also Person B raus, da der Schlag 8 auf sie fällt. Anschliessend bleiben noch die Personen A und C übrig, die, wie im vorherigen Fall (\(n = 2\)), die Rollen von A und B einnehmen.

    \(n = 4\): Wir nennen die vier Personen A, B, C und D. Das Spiel beginnt bei A, welche alle Schläge \(4x+1\) (konkret 1 und 5) treffen. Person B treffen alle Schläge \(4x+2\) (konkret 2 und 6). Person C treffen alle Schläge \(4x+3\) (konkret 3 und 7). Person D treffen alle Schläge \(4x\) (konkret 4 und 8). In diesem Fall fällt also zunächst Person D raus und hinterlässt A, B und C in der Situation von \(n=3\) wie vorher.

Didaktischer Kommentar

Abzählreime sind beliebte rhythmische Elemente bei Kindern, um Entscheidungen zu treffen. Gleichzeitig sind sie – bei klaren Regeln – deterministisch. In dieser Unterrichtseinheit betrachten wir einen gegebenen Abzählreim, versuchen diesen systematisch zu analysieren und untersuchen, wie zufällig das zugrundeliegende Muster tatsächlich ist. Obwohl wir stets denselben Abzählreim verwenden, wäre es auch möglich, andere Abzählreime zu verwenden oder diese nach einem anderen System zu gestalten (beispielsweise anhand einzelner Wörter oder Silben). Dies führt zu anderen Lösungen, aber die zugrundeliegenden Prinzipien bleiben bestehen.

Die Unterrichtseinheit enthält die folgenden Aspekte des algorithmischen Denkens.

Quellenangaben und weiterführende Literatur

  1. Josephus Permutation: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. https://de.wikipedia.org/wiki/Josephus-Problem; zuletzt abgerufen am 02.10.2021.
  2. Detlev Jöcker: Mile Male Mule, Ich Gehe in die Schule, 1991, ISBN: 9783927497481.
  3. Lieder Aus Meinem Kindergarten Buchstaben Und Zahl, 2001, ISBN: 4001504264697.

Abbildungsverzeichnis

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