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Optimieren

Algorithmisches Denken in der Primarschule

Zusammenfassung

In der Sekundarstufe II gehören Extremwertprobleme mit rationalen Zielfunktionen zum Pflichtstoff. Jedoch können viele derartige Optimierungsprobleme bereits in der Volksschule mit dem Alters- bzw. Leistungsniveau entsprechenden Strategien gelöst werden und zur Förderung der Problemlösekompetenzen von Schülerinnen und Schülern beitragen. Diese Unterrichtseinheit gibt Studierenden und Lehrpersonen einen Einblick in mögliche Aufgabenstellungen und Lösungswege für unterschiedliche Leistungsniveaus. Auf der Basis dieses Bausteins können für die Klassenstufen 2. bis 9. Schuljahr geeignete Lernumgebungen erstellt werden.

Für (angehende) Lehrpersonen sind in dieser Unterrichtseinheit exemplarische Aufgaben enthalten, die nicht nur propädeutisch interessant sind, sondern den Schülerinnen und Schülern auch Vernetzungen mit und tiefere Einsichten in mathematische Zusammenhänge ihrer Schulstufe und dem Alltag ermöglichen. Dabei können digitale Hilfsmittel nützlich sein. So können die Schü lerinnen und Schüler beispielsweise bei der Suche nach dem flächengrössten Rechteck bei gegebenem Umfang die Lösung in einer im 2. Schuljahr üblichen \((1\times 1)\)-Tafel ablesen (siehe hierzu die Lösungen zur Aufgabe 1). Sie können auch eine selbsterstellte Tabelle, ein Tabellenkalkulationsprogramm oder ein Computerprogramm in einer beliebigen Programmiersprache verwenden. Die Lernenden vermögen ihre Vorgehensweisen auch auf entsprechende Aufgabenstellungen mit beliebig grossen Zahlen und auf neue Herausforderungen zu übertragen.

Dem Spiralprinzip folgend kann der Baustein mit geeigneten Aufgaben (siehe Aufgabe 4) in der Oberstufe eingesetzt werden und es können altersgemäss neue Lösungsstrategien ermöglicht werden.

Beispielsequenz

Die folgenden vier Aufgaben besitzen eine zunehmende Komplexität. Für die Bearbeitung können unterschiedliche Werkzeuge und Strategien verwendet werden.

Aufgabe 1

Der Umfang eines Rechtecks beträgt 20cm. Wie müssen die Seiten gewählt werden, damit der Flächeninhalt möglichst gross wird? Arbeiten Sie für die Lösung dieser Aufgabe mit

Aufgabe 2

Die Summe der Kanten eines Quaders mit quadratischer Grundfläche wie in Abbildung 1 misst 24cm. Berechnen Sie die Kanten so, dass die Oberfläche des Quaders maximal wird.

.Quader.png.
Abbildung 1. Quader mit quadratischer Grundflächer

Aufgabe 3

Eine Konditorei verkauft monatlich 120 Kirschtorten mit einem Gewinn von CHF 22 pro Stück. Durch eine Marktanalyse konnte folgender Zusammenhang zwischen Preissenkungen und Verkaufszahlen nachgewiesen werden: Bei einem Preisnachlass von CHF 1 pro Torte werden monatlich 11 Kirschtorten mehr verkauft, bei CHF 2 Nachlass 22 Kirschtorten mehr, bei CHF 3 sogar 33 Kirschtorten mehr und so weiter. Bei welcher Preissenkung pro Stück ist der grösste Gesamtgewinn zu erwarten?

Aufgabe 4

Eine Konservendose mit 1 Liter Inhalt soll so hergestellt werden, dass möglichst wenig Material verbraucht wird. Wie hoch wird die Konservendose?

Lösungen zu den Aufgaben

Aufgabe 1

Lösungsweg 1 arbeitet mit der \((1\times 1)\)-Tafel (siehe Abbildung 2).

.opt1.png.
Abbildung 2. \((1\times 1)\)-Tafel aus dem Lehrmittel Zahlenbuch (2. Schuljahr)
In jeder Spalte der Tabelle ist die Summe der beiden Faktoren konstant. Diese betragen (von links nach rechts gelesen) 2, 3, 4, 5, ... , 19, 20. Da sich die Fläche eines Rechtecks durch das Produkt der beiden Seitenlängen berechnen lässt, muss diejenige Spalte gesucht werden, welche der Summe 10 entspricht. Die Werte der Produkte steigen bis zum «symmetrischen» Produkt 5 · 5 und fallen nachfolgend wieder. Somit weist das Quadrat mit Seitenlänge 5cm die grösste Fläche bei gegebenem Umfang auf.

Diese Vorgehensweise kann auf andere Umfänge verallgemeinert werden. Dabei funktioniert es für gerade Zahlen problemlos. Entspricht die Masszahl des Umfangs einer ungeraden Zahl, so kann die Lösung aus den bisherigen Überlegungen abgeleitet werden. So beträgt bei einem Umfang von 22cm die Summe der Seiten 11cm und daher ist die maximale Quadratfläche gleich \(5.5\mathrm{cm} · 5.5\mathrm{cm}=30.25\mathrm{cm}^2\).

In Lösungsweg 2 erstellen wir eine Tabelle welche die möglichen Produkte auflistet.

Summe der Seiten ist gleich 10. Alle Zerlegungen von 10 kommen infrage. (Es handelt sich um eine bereits im 1. Schuljahr übliche Aufgabe im Mathematikunterricht, welche üblicherweise in Form von Zahlenhäusern in den Lehrmitteln enthalten ist. Auf dieser Stufe gilt die Grundmenge \(\mathbb{N}\).)

Seite 1 (\(\mathrm{cm}\)) Seite 2 (\(\mathrm{cm}\)) Summe der Seiten (\(\mathrm{cm}\)) Fläche (\(\mathrm{cm}^2\))
0 10 10 0
1 9 10 9
2 8 10 16
3 7 10 21
4 6 10 24
5 5 10 25
6 4 10 24

Da dank des Kommutativgesetzes der zweite Teil der Tabelle symmetrisch zum ersten Teil ist, muss die Tabelle nicht bis 10 · 0 fortgesetzt werden. Mit dem Quadrat mit Seitenlänge 5cm ergibt sich die optimale Lösung. Lösungsweg 3 Obwohl auch mit der Vorgehensweise nach Lösungsweg 2 nicht nur ganzzahlige Lösungen näherungsweise bestimmt werden könnten, ist die Nutzung eines Tabellenkalkulationsprogramms sinnvoll. Dies gilt insbesondere ab ca. dem 5. Schuljahr. Auf eine entsprechende Strategie wird in den Lösungen zu Aufgabe 2 eingegangen. Lösungsweg 4 Bereits auf den Erkenntnissen aus Lösungsweg 1 lässt sich ein Algorithmus formulieren und (beispielsweise) in einem Logo-Programm umsetzen. Dieser soll systematisch die den Zerlegungen der Zahl 10 in zwei Summanden entsprechende Fläche berechnen. Dies kann vorerst nur mit natürlichen Zahlen erfolgen, lässt sich jedoch leicht auf Zerlegungen mit Dezimalbrüchen erweitern (siehe dazu auch Aufgabe 2). Logo-Programme mit natürlichen Zahlen:

Eine while-Schleife ist für diese Anwendung vorzuziehen. Allerdings wird in der Primarstufe häufig die repeat-Schleife eingeführt. Daher wird hier auch ein entsprechendes Beispiel abgebildet (zweites Programm). In den ersten beiden Programmen kann durch die Definition des Parameters d als 0.1, 0.01 oder noch kleiner eine beliebig grosse Genauigkeit erreicht werden. Für unterschiedlich vorgegebene Umfänge können die Programme angepasst und dadurch das Verständnis der Programme vertieft werden.

Falls die Schülerinnen und Schüler bereits mit Variablen arbeiten, wäre die Verallgemeinerung auf beliebige Umfänge möglich, ohne dass der Quelltext geändert werden muss (siehe viertes Programm / opt5). Damit die Angabe der optimalen Fläche sinnvoll ist, muss entsprechend gerundet werden. Dabei ist zu beachten, dass der Logo-Befehl round auf ganze Zahlen rundet. Deshalb muss der Parameter a (für die Fläche) vor dem Runden mit 10, 100 oder einer grösseren Zahl multipliziert und nach dem Runden wieder durch die gleiche 10er Potenz dividiert werden.

Aufgabe 2

Die Summe der Kanten eines Quaders mit quadratischer Grundfläche entspricht der Summe aus der achtfachen Grundflächenseite a und der vierfachen Seitenflächenseite b, also \(8a+4b=24\mathrm{cm}\). Auch ohne Übung in algebraischen Umformungen lässt sich daraus ableiten, dass 2 Grundflächenseiten und eine Seitenflächenseite die Summe 6cm ergeben: \(2a+b=6\mathrm{cm}\). Die Oberfläche des Quaders entspricht der Summe aus der zweifachen Grundfläche und der vierfachen Seitenfläche, also \(2a^{2}+4ab\). Lösungsweg 1 Die maximale Oberfläche kann mit einer Tabelle bestimmt werden (Angaben in cm, bzw. \(\mathrm{cm}^2\), die Einheit kann für die Lösungswege weggelassen werden).

Kante a Kante b Kantensumme Oberfläche
0 6 24 0
1 4 24 18
2 2 24 24
3 0 24 (18)

Die Oberfläche in der letzten Zeile steht in Klammer, da es sich eigentlich nicht mehr um ein Quader handelt. Das Maximum ergibt sich offenbar für Werte der Grundkante a zwischen 1 und 3. Durch das Einfügen weiterer Zeilen in der Tabelle kann das Ergebnis (iterativ) besser approximiert werden. Es ist nicht notwendig, mit abstandsgleichen Werten für die Kanten zu arbeiten:

Kante a Kante b Kantensumme Oberfläche
0 6 24 0
1 4 24 18
1.5 3 24 22.5
1.8 2.4 24 23.76
1.9 2.2 24 23.94
2 2 24 24
2.1 1.8 24 23.94
3 0 24 (18)

Dieses Vorgehen lässt den Schluss zu, dass der Würfel mit Kantenlänge 2cm die maximale Oberfläche von \(24\mathrm{cm}^2\) aufweist. Lösungsweg 2 Mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Excel kann durch Einfügen der Formeln

.Excel1.png.
Abbildung 3. Formeln für Excel-Datei
und durch das Duplizieren von Zellinhalten (zum Beispiel durch Ziehen an der unteren rechten Ecke einer markierten Zelle) schnell eine beliebig exakte Lösung gefunden werden.
.Excel2.png.
Abbildung 4. Excel-Kalkulation
Diese Kopie aus Excel zeigt eine Berechnung für 10stel-Abstände für die Kante a. Mit einem Tabellenkalkulationsprogramm kann einfach auch genauer berechnet werden. Zudem ist es unnötig, das ganze Intervall von 0 bis 3 für die Kante aufzunehmen, es genügt in der Nähe des vermuteten Maximums:
.Excel3.png.
Abbildung 5. Excel-Kalkulation verfeinert
Lösungsweg 3 Entsprechend der ersten Aufgabe kann auch in diesem Fall ein Logo- (oder Python-) Programm zur Lösung führen. Lösungsweg 4 Setzt man im Term für die Oberfläche für \(b\) den Ausdruck \(6-2a\) ein, erhält man die quadratische Funktion \[ O(a)=2a^{2}+4ab=2a^{2}+4a · (6-2a)=-6a^{2}+24a\;. \] In der Oberstufe kann die entsprechende nach unten geöffnete Parabel gezeichnet und der Scheitel bestimmt werden. Das Zeichnen kann von Hand oder einer entsprechenden Software erfolgen.
.Parabel.png.
Abbildung 6. Parabel (GeoGebra-Datei)
Der Scheitel kann beispielsweise aus dem arithmetischen Mittel der beiden Nullstellen berechnet werden: \[ -6a^{2}+24a=6a · (-a+4)=0 \] Folglich liegen die Nullstellen bei 0 und 4 und der Scheitel hat den Wert \(a=2\) und \(O=24\). Es folgt \(b=2\) und damit ergibt sich wiederum der Würfel mit Kantenlänge 2cm als Quader mit maximaler Oberfläche.

Aufgabe 3

Wiederum stehen die bereits in den ersten beiden Aufgaben gezeigten Strategien zur Verfügung: eine Tabelle von Hand, die Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms (siehe Lösungsweg 1), ein Computerprogramm oder den Scheitel der nach unten geöffneten Parabel bestimmen (siehe Lösungsweg 2). Es ergibt sich ein optimaler Gewinn bei einem Preisnachlass von 5 bis 6 Franken. Lösungsweg 1

.Excel4.png.
Abbildung 7. Excel-Kalkulation
Lösungsweg 2 Entspricht x dem Preissenkungsbetrag in Franken, so erhält man die Gewinnfunktion \[ G(x)=(120+11x) · (22-x)=-11x^{2}+122x+2640 \]
.ParabelA3.png.
Abbildung 8. Parabel
Aus dem arithmetischen Mittel der Nullstellen ergibt sich die x-Koordinate des Scheitels, ca. 5.55 und daraus eine optimale Verkaufsstrategie: Der optimale Gewinn kann mit einem Preisnachlass von 5 bis 6 Franken erzielt werden.

Aufgabe 4

Diese Aufgabe eignet sich erst ab der Oberstufe. Für das Volumen gilt \[ V=π · r^{2} · h \] und für die Oberfläche \[ O=2 · π · r^{2}+2 · π · r · h\,. \] Lösungsweg 1 Eine Lösung mittels Nutzung von Excel zeigt folgender Ausschnitt aus einer Exceltabelle (für Veränderung von r in ganzen Schritten, bzw. Zehntels- und Hundertstelschritten).

.Excel5.png.
Abbildung 9. Excel-Kalkulation
Es zeigt sich, dass die optimale Lösung erreicht wird, wenn der Durchmesser der Grundfläche gleich der Höhe der Konservendose ist. Lösungsweg 2 Durch Nutzung einer Mathematiksoftware wie GeoGebra (in der Oberstufe üblich) kann die optimale Lösung abgelesen werden:
.ParabelA4.png.
Abbildung 10. GeoGebra-Ausschnitt
Lösungsweg 3 Auch in diesem Fall kann ein Computerprogramm zur Lösung führen. Da diese Aufgabe für die Oberstufe geeignet ist, wird eine mögliche Lösung mit Python angegeben.
from math import *
V = 1000
d = 0.001
r = d
h = V/(pi*(r**2))
O1 = 2*pi*r**2+2*pi*r*h
while r < 10:
  h = V/(pi*(r**2))
  O2 = 2*pi*r**2+2*pi*r*h
  if O2 > O1:
    print("Loesung", round(O1, 2))
    print("r = ", round(r, 2))
    print("h = ", round(h, 2))
    break
  O1 = O2
  r += d
Output des Programms ist Loesung 553.58. \begin{align*} r & = 5.42 \\ h & = 10.84 \end{align*} Lösungsweg 4 Der Vollständigkeit halber wird zu dieser Aufgabe der Lösungsweg mittels Differentialrechnung angegeben. Für das Volumen gilt \[ V = π · r^{2} · h=1000 \] (Die Rechnung erfolgt in cm, cm2 bzw. cm3), also \[ h=\frac{1000}{π · r^{2}} \] Für die Oberfläche erhalten wir \[ O = 2 · π · r^{2}+2 · π · r · h, \] womit wir die Zielfunktion \[ O(r)=2 · π · r^{2}+\frac{2000}{r} \] erhalten.

Jetzt bestimmen wir die erste Ableitung dieser Funktion und setzen sie gleich Null: \[ O'(r)=4 · π · r- \frac{2000}{r^{2}}=0, \] woraus \[ r^{3}= \frac{2000}{4 · π}\] und damit \[ r=\sqrt[3]{\frac{2000}{4 · π}} \] folgt. Folglich gilt \(r \approx 5.42\) und \(h \approx 10.84\).

Die zweite Ableitung ist für \(r \approx 5.42\) positiv, daher handelt es sich um ein Minimum. Allerdings kann auf diese Ableitung verzichtet werden, da sich aus Überlegungen zum ungefähren Kurvenverlauf ergibt, dass es sich bei diesem einzigen Extremum um ein Minimum handeln muss.

Didaktischer Kommentar

Die Zusammenstellung der Aufgaben in diesem Baustein soll (zukünftigen) Lehrpersonen aller Volksschulstufen exemplarisch verdeutlichen, dass Extremwertaufgaben ab dem zweiten Schuljahr für die Schülerinnen und Schüler interessante Herausforderungen sind, welche grosses Potenzial zur Förderung der Problemlösekompetenzen bergen. Je nach Schulstufe finden die Lehrenden leicht weitere der Klassenstufe entsprechende Aufgaben oder können selbst derartige Aufgaben konstruieren. Wichtig ist die Offenheit der Aufträge gegenüber den Lösungsstrategien. Die Lernenden sollen eigenständig Vorgehensweisen entwickeln. Durch das Gespräch in Partnergruppen und in der Klasse können Strategien verglichen, gegenseitig erklärt und dadurch das Verständnis vertieft werden.

Die Unterrichtseinheit enthält die folgenden Aspekte des algorithmischen Denkens.

Quellenangaben

Abbildungsverzeichnis

Alle nicht in der folgenden Auflistung erhaltenen Abbildungen wurden vom Autoren erzeugt.

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