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Takt und das KGV

Algorithmisches Denken in der Primarschule

Zusammenfassung

Im Zusammenhang verschiedener Taktarten in der Musik und zugehörigen Übungen kann eine starke Verbindung zum aus der Mathematik bekannten Kleinsten Gemeinsamen Vielfachen gefunden werden. In diesem Baustein werden die Studierenden durch entsprechend gestaltete Übungsaufgaben dazu motiviert, die Zusammenhänge durch Beobachtung und Analyse selbst zu ermitteln.

Durch die Unterrichtseinheit kann das selbstentdeckende Lernen im Kontext des Musikunterrichts gefördert werden.

Beispielsequenz

Die Teilnehmenden werden in 3er-Gruppen aufgeteilt. Die Gruppenmitglieder sitzen in einem kleinen Kreis oder kauern auf dem Boden. Eine Person klopft einen gleichmässigen Puls. Auf ein Signal hin klatscht ein Gruppenmitglied jeweils nach \(x\), das zweite nach \(y\) Schlägen.

Die Taktgeberin bezeichnen wir als \(T\), während die anderen beiden Personen \(A\) und \(B\) jeweils in einem vorgegebenen Takt klatschen. Takt heisst, dass nach jeweils einer gewissen Anzahl von Schlägen der Taktgeberin ein Schlag geklatscht wird. Ein 4-er Takt wäre dann ein Klatschen nach jeweils 4 Schlägen der Taktgeberin.

Beispiel: \(A\) und \(B\) klatschen zu Beginn gemeinsam. Danach klatscht \(A\) jeweils jeden zweiten Schlag und \(B\) jeden vierten Schlag. Daraus ergibt sich das folgende Klatsch-Muster:

A X X X X X
B X X X

Aufgabe 1

Vollführen Sie die folgenden Klatsch-Muster und notieren Sie das entstehende Muster in einer Tabelle.

  1. \(A\) klatscht jeden Schlag, \(B\) jeden vierten.
  2. \(A\) klatscht jeden zweiten Schlag, \(B\) jeden sechsten.
  3. \(A\) klatscht jeden dritten Schlag, \(B\) jeden neunten.
  4. Nach wie vielen Schlägen klatschen \(A\) und \(B\) jeweils gemeinsam? Beantworten Sie diese Frage für alle drei der vorangegangenen Teilaufgaben.

Aufgabe 2

In dieser Aufgabe gehen wir davon aus, dass \(A\) in einem kürzeren Rhythmus klatscht als \(B\) (das heisst \(A\) klatscht nach \(x\) Schlägen und \(B\) nach \(y\) Schlägen, wobei \(x < y\)). Untersuchen Sie die folgende Aussage:

«Immer wenn \(B\) klatscht, klatscht auch \(A\).»

  1. Trifft diese Aussage für die drei Beispiele aus Aufgabe 1 zu?
  2. Stimmt diese Aussage generell? Begründen Sie Ihre Antwort.
  3. Für welche Zahlen \(x\) und \(y\) stimmt die Aussage? Finden Sie eine allgemeine Regel.

Aufgabe 3

Vollführen Sie die folgenden Klatsch-Muster und notieren Sie das jeweilige Muster in entsprechenden Tabellen. Notieren Sie zudem, nach wie vielen Schlägen \(A\) und \(B\) jeweils gemeinsam klatschen.

  1. \(A\) klatscht jeden zweiten Schlag, \(B\) jeden dritten.
  2. \(A\) klatscht jeden dritten Schlag, \(B\) jeden vierten.
  3. A klatscht jeden vierten Schlag, B jeden fünften.
  4. Nach wie vielen Schlägen klatschen \(A\) und \(B\) in den obigen drei Beispielen jeweils gemeinsam?

Aufgabe 4

Es steht die Frage im Raum, unter welchen Umständen \(A\) und \(B\) gemeinsam klatschen. Offensichtlich ist dies immer bei Schlag \(A · B\) der Fall, sowie bei sämtlichen Vielfachen davon. Gibt es aber auch andere Schläge, an denen gemeinsames Klatschen auftritt? Erklären Sie Ihre Antwort.

Aufgabe 5

Diskutieren Sie die folgenden Fragen:

  1. Können Sie Beispiele finden, wo das Produkt \(A · B\) noch weitere Teiler hat als nur \(A\) und \(B\)?
  2. Welche Konsequenzen hat es auf das Klatschmuster, wenn \(A\) und \(B\) gemeinsame Teiler haben?

Lösungen zu den Aufgaben

Aufgabe 1

  1. Es entsteht das folgende Klatsch-Muster.

    A X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X
    B X X X X X

  2. Es entsteht das folgende Klatsch-Muster.

    A X X X X X X X X X X
    B X X X X

  3. Es entsteht das folgende Klatsch-Muster.

    A X X X X X X X
    B X X X

  4. In Aufgabenteil (a) klatschen \(A\) und \(B\) gemeinsam jeden 4. Schlag, in (b) jeden 6. Schlag und in (c) jeden 9. Schlag.

Aufgabe 2

  1. Die Aussage trifft auf alle Beispiel aus Aufgabe 1 zu.
  2. Ein solchen Beispiel ist \(A\): 2 und \(B\): 3.
  3. Wenn \(y\) ohne Rest durch \(x\) teilbar ist, dann stimmt die Aussage.

Aufgabe 3

  1. Es entsteht das folgende Klatsch-Muster.

    A X X X X X X X X X X
    B X X X X X X X

  2. Es entsteht das folgende Klatsch-Muster.

    A X X X X X X X
    B X X X X X

  3. Es entsteht das folgende Klatsch-Muster.

    A X X X X X
    B X X X X

  4. In Aufgabenteil (a) klatschen \(A\) und \(B\) gemeinsam jeden 6. Schlag, bei (b) jeden 12. Schlag und bei (c) jeden 20. Schlag.

Aufgabe 4

Ein Beispiel: Für \(x=6\) und \(y=10\) klatschen \(A\) und \(B\) nicht im 60-ten Schlag das erste Mal zusammen, sondern bereits im 30-ten. Der Grund dafür ist, dass 30, genau wie 60, ein Vielfaches von sowohl \(x\) als auch \(y\) ist; allerdings nicht irgendeines, sondern das kleinste, weswegen \(A\) und \(B\) hier zum ersten Mal gemeinsam klatschen. Das ist das Prinzip des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (KgV). Eine andere Begründung ist umgekehrt, dass 10 und 6 den gemeinsamen Teiler 2 haben und deshalb auch das Produkt 60 durch 2 geteilt werden kann, um einen weiteren Schlag mit gemeinsamem Klatschen zu finden. Das ist das Prinzip des grössten gemeinsamen Teilers (GgT), welches bestimmt, wo der erste Schlag mit gemeinsamem Klatschen auftritt.

Aufgabe 5

  1. Beispiel: \(A=30\), \(B=42\): 2 und 3 sind Teiler
  2. Ein Beispiel, bei welchem \(A\) und \(B\) gemeinsame Teile haben ist: \(A=21\), \(B=24\). In diesem Fall lässt sich sowohl \(A\) als auch \(B\) durch 3 teilen. Die Konsequenz davon ist, dass bei einem Klatschverhältnis von 21 und 24 ein gemeinsames Klatschen nicht nur bei jedem 504ten (\(21 · 24\)) Schlag auftritt, sondern auch schon jeden 168ten (\(504/3\)).

Auswirkungen auf die Musik

Die folgenden Hörbeispiele sollten mit den Studierenden angehört werden. Dabei soll jeweil eine/einer der Studierenden versuchen, im Musikstück den Takt zu erspüren und die Betonungen mitzuklatschen bzw. an Stellen, bei denen die Verschiebungen simultan auftreten (wie bei der Brahms Cellosonate) zu beschreiben, wo was passiert.

Es gibt Komponisten, die bewusst mit den Verschiebungen gearbeitet haben (Hörbeispiel: Brahms Cellosonate e-moll, Beginn 3. Satz). Es kann nun zum Beispiel darauf eingegangen werden, warum unterschiedliche Metriken unterschiedlichen Charakter haben. Ein \(\frac{4}{4}\)-Takt (teilbar durch 2) hat auf die Eins eine starke, auf die Drei eine leichte Betonung. Ein \(\frac{3}{4}\)-Takt hat keinen Teiler, also nach der betonten Eins auch keine Teilbetonung mehr. Ein \(\frac{12}{8}\)-Takt bietet viele Möglichkeiten für Gewichtungen, weil 12 durch 2, 3, 4, und 6 teilbar ist. Ein 5er-Takt ruft gefühlt nach einer Unterstruktur, obwohl 5 eine Primzahl ist. Diese kann \(3+2\) oder auch \(2+3\) heissen und durch entsprechende Betonung ausgedrückt werden (Hörbeispiel: Dave Brubeck, Take 5 mit \(3+2\); Hörbeispiel: Alexander Borodin, 3. Symphonie, 2. Satz, Scherzo mit \(2+3\)). Auch 7-er Takte haben meist eine Unterstruktur (Hörbeispiel: Pink Floyd, Money, 3+2+2). Takte mit Primzahlcharakter haben extreme Spannung. Sogar 13er-Metrik gibt es (Hörbeispiel: The Stranglers, Golden Brown) und muss nicht einmal sperrig für die Ohren klingen. Auch rund scheinende Taktarten können an Spannung gewinnen, wenn die Betonungen weg von den Teilern gelegt werden (9er-Takt, Hörbeispiel: Bach – Praeludium in C-dur – BWV 547, \(3+3+3\); Hörbeispiel: Dave Brubeck, Blue Rondo a la Turk, \(2+2+2+3\)). Eigentlich dem 3er-Takt sehr ähnlich ist der 3er-Charakter im 9er-Takt bei Brubeck im Gegensatz zu Bach nicht mehr zu erkennen. Wenn man das Thema bei Brubek ganz anhört, stellt man jedoch fest, dass der Sachverhalt noch komplexer ist, weil es sich aus 3 Takten mit \(2+2+2+3\) und einem vierten Takt mit \(3+3+3\) zusammensetzt, also zusätzlich das Arbeiten mit Verschiebungen in unterschiedlichen Takten eines Themas unterschiedlich handhabt.

Didaktischer Kommentar

Zu Beginn steht eine Übung, die sowohl eine Einstimmung auf das Kommende ist als auch das Hören und Reagieren im Team schult. Dabei steigert sich die Schwierigkeit über die Teilaufgaben hinweg. Die Zahlenverhältnisse des Schlagens in der Übung sind alle noch ganzzahlig, zeigen also das Grundthema der Lektion noch nicht offensichtlich.

An das eigentliche Thema nähert man sich mit Aufgabe 2 an, indem die natürlich unhaltbare Frage aufgestellt wird, ob alle Aufgaben geradzahlige Verhältnisse haben müssen. Dabei wird die Motivation zum Analysieren und selbst Modellieren aus der Problematik erzeugt. Eine Vertiefung erfolgt in Aufgabe 3 und Aufgabe 3, die Beispiele dafür gibt, dass die Frage der Aufgabe 2 mit «nein» zu beantworten ist, also für Fälle, die nicht von Aufgabe 2c abgedeckt werden.

Abschliessend erfolgt noch eine Erfahrung auf der Gefühlsebene, die das intellektuell analysierte Problemfeld fühlbar werden lässt, indem unterschiedliche Taktmetren gehört und die damit verbundenen Spannungen gefühlt werden.

Der Baustein enthält die folgenden Aspekte des algorithmischen Denkens.

Quellenangaben und weiterführende Literatur

  1. Kleinstes gemeinsames Vielfaches: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. https://de.wikipedia.org/wiki/Kleinstes_gemeinsames_Vielfaches/; zuletzt abgerufen am 02.10.2021.
  2. Grösster gemeinsamer Teiler: Wikipedia – Die freie Enzyklopädie. https://de.wikipedia.org/wiki/Groesster_gemeinsamer_Teiler/; zuletzt abgerufen am 02.10.2021.

Hörbeispiele

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