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Zauberschlangen

Algorithmisches Denken in der Primarschule

Zusammenfassung

Mathematik und Informatik werden seit den 70er-Jahren des letzten Jahrhunderts als Strukturwissenschaften bezeichnet. Diese beschäftigen sich ausdrücklich mit der Abstraktion, nämlich mit der Suche nach Gemeinsamkeiten und Unterschieden in einer Vielzahl von Einzelfällen sowie der Erforschung eines beziehungsreichen Geflechts von übereinstimmenden, verwandten und unterschiedlichen Mustern. Lernende erwerben durch Prozesse des Ordnens von Erfahrungen und Erkenntnissen, des Abstrahierens, des Generalisierens, des Symbolisierens und des «Neu-Organisierens» von vorhandenem Wissen ein zunehmend tieferes Verständnis der Strukturen.

In der vorliegenden Unterrichtseinheit können die Studierenden auf der Basis eines vorgegebenen Algorithmus eigenständig Vermutungen formulieren, diese überprüfen und Lösungswege entwickeln. Dabei entdecken sie Muster und Zusammenhänge, welche in der höheren Mathematik zu zahlentheoretischen Theoremen führen.

Beispielsequenz

Aufgabe 1

Wenden Sie folgenden Algorithmus auf unterschiedliche zweistellige Zahlen an:

  1. Quadriere die Ziffer jeder Stelle für sich.
  2. Addiere die Ergebnisse.
  3. Wiederhole die Schritte 1 und 2 sechzehnmal.

Für die Ausgangszahl 32 ergibt sich zum Beispiel \[ 32, 13, 10, 1, 1, 1, ... \] Wiederholen Sie diesen Prozess für weitere zweistellige Zahlen. Was stellen Sie fest? Beschreiben Sie die Erkenntnisse.

Aufgabe 2

In Aufgabe 1 konnten Sie für Zahlen zwischen 1 und 100 unterschiedliches Verhalten erkennen. Kennzeichnen Sie auf der folgenden Hundertertafel alle Zahlen mit gleichem Verhalten. Beschreiben Sie Ihr Vorgehen.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Lösungen zu den Aufgaben

Aufgabe 1

Beispiele:

32 13 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
44 32 13 18 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
19 82 68 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
11 2 4 16 37 58 89 145 42 20 4 16 37 58 89 145
50 25 29 85 89 145 42 20 4 16 37 58 89 145 42 20

Anmerkung: Den Umgang mit dreistelligen Zahlen erst klären, sobald sich der entsprechende Bedarf ergibt. (Lernende sollen Vorschläge machen.) Erkenntnisse

  1. Es gibt zwei Möglichkeiten zum Verhalten der Schlange: Die Schlange endet bei 1 oder die Schlange geht in einen sich wiederholenden Zyklus über.
  2. Bis zum Erreichen der 1 oder des Zyklus können auch dreistellige Zahlen auftreten.

Aufgabe 2

Diese Aufgabe bietet unterschiedliche Möglichkeiten des Vorgehens:

Die Zahlen, deren Schlange mit 1 endet, lassen sich rückwärts rekonstruieren.

.Konstruktion1.png.
Abbildung 1. Rekonstruktion aus 1
Auch alle Zahlen, welche auf den Zyklus führen, lassen sich rekonstruieren. Falls man nicht mit 145 beginnt, muss aus Aufgabe 1 mitgenommen werden, dass der «Vorgänger» von 42 die dreistellige Zahl 145 ist.
.Konstruktion2.png.
Abbildung 2. Rekonstruktion aus den Zykluszahlen
Damit alle Zahlen zwischen 1 und 100 rekonstruiert werden können, müssen auch dreistellige Zahlen als Zwischenschritt verwendet werden. Diese dreistelligen Zahlen sind auch in der Tabelle mit den Quadratzahlen enthalten. Ev. müssen nachträglich die entsprechenden Anknüpfungsstellen gesucht werden, falls in einem ersten Schritt nicht alle Zahlen zwischen 1 und 100 rekonstruiert werden können. Dabei helfen die Lösungen für Aufgabe 1.

Nach einiger Zeit des Probierens sollen die Vorgehensweisen in einem Klassengespräch diskutiert werden.

Beim Lösen von Aufgabe 2 sollen Erkenntnisse notiert werden:

.Hundertertafel2.png.
Abbildung 3. Markierte Zahlen auf der Hundertertafel (rote Zahlen: Schlange endet bei 1; blaue Zahlen: Schlange geht in sich wiederholenden Zyklus über)
mögliche Weiterführung: Darstellung natürlicher Zahlen als Summe von Quadraten. (Es gilt: Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von höchstens vier Quadratzahlen darstellen.)

Didaktischer Kommentar

Algorithmen (re-)konstruieren, verstehen und optimieren sind wesentliche Aspekte im Mathematikunterricht. Dabei spielen Muster und Strukturen eine wesentliche Rolle. Das Erkennen von Mustern (in geeigneten Darstellungen) unterstützt die Rekonstruktion bzw. das Verständnis eines Algorithmus, beispielsweise für die Addition von Brüchen. Im vorliegenden Baustein ist der Algorithmus vorgegeben und dessen Anwendung ermöglicht das Erkennen von Mustern innerhalb des Zahlenraumes 1 bis 100. Der gegebene Algorithmus enthält eine Iteration, welche ihrerseits ein fundamentales Konzept der Mathematik ist (zum Beispiel Zählen, fraktale Geometrie).

Der Baustein kann ab dem 3. Schuljahr verwendet werden.

Der Baustein enthält die folgenden Aspekte des algorithmischen Denkens.

Quellenangaben und Weiterführende Literatur

  1. Hartmut Spiegel: Zauberschlangen. In Die Scholle – Monatshefte für die Unterrichtspraxis. München, Seiten 524–533, 1979.

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